§10.prop2.84τῇ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ μία μόνη προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον τό τε δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν.
중항과 함께 전체를 중항으로 만드는 선에 대해서는 전체와 제곱에서 통약할 수 없고, 전체와 함께 그것들 위의 정사각형들의 합을 중항으로 만들고 그것들에 의한 직사각형의 두 배를 중항으로 만들며 또한 그것들 위의 정사각형들의 합과 통약할 수 없게 만드는, 오직 하나의 직선만이 붙여진다.
ἔστω ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΒΓ·
중항과 함께 전체를 중항으로 만드는 선을 AB라 하고, 이에 붙여지는 직선을 BC라고 하자.
αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προειρημένα.
그러므로 AC, CB는 제곱에서 통약할 수 없고 앞서 말한 일을 한다.
λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόσει ποιοῦσα τὰ προειρημένα.
나는 말한다, AB에 대해서 앞서 말한 일을 하는 다른 직선은 붙여지지 않을 것이다.
εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ, ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τά τε ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα ἅμα μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἀσύμμετρα τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ·
왜냐하면 만일 가능하다면, BD가 붙여진다고 하자, 그리하여 AD, DB도 제곱에서 통약할 수 없고 AD, DB 위의 정사각형들의 합을 동시에 중항으로 만들고, AD, DB에 의한 직사각형의 두 배를 중항으로 만들며, 또한 AD, DB 위의 정사각형들을 AD, DB에 의한 직사각형의 두 배와 통약할 수 없게 한다.
καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΘΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΜ·
그리고 유리선 EZ를 잡고, AC, CB 위의 정사각형들의 합과 같은 면적 EH를, 폭 EM을 만들도록 EZ에 붙이고, AC, CB에 의한 직사각형의 두 배와 같은 면적 TH를, 폭 TM을 만들도록 EZ에 붙이자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΕΛ·
그러므로 남은 면적은 AB 위의 정사각형과 같고, 이는 EL과 같다.
ἡ ἄρα ΑΒ δύναται τὸ ΕΛ. πάλιν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΙ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΝ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον τῷ ΕΛ·
그러므로 AB는 EL과 같은 정사각형을 만든다. 다시, AD, DB 위의 정사각형들의 합과 같은 면적 EI를, 폭 EN을 만들도록 EZ에 붙이자. 그런데 AB 위의 정사각형도 EL과 같다.
λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον τῷ ΘΙ. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΕΗ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ·
그러므로 남은 AD, DB에 의한 직사각형의 두 배는 TI와 같다. 그리고 AC, CB 위의 정사각형들의 합은 중항이고 이것은 EH와 같으므로, EH도 중항이다. 그리고 이것은 유리선 EZ에 붙여져서 폭 EM을 만든다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
그러므로 EM은 유리선이고 EZ와 길이에서 통약할 수 없다.
πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΘΗ, μέσον ἄρα καὶ τὸ ΘΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΜ·
다시, AC, CB에 의한 직사각형의 두 배는 중항이고 이것은 TH와 같으므로, TH도 중항이다. 그리고 이것은 유리선 EZ에 붙여져서 폭 TM을 만든다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
그러므로 TM은 유리선이고 EZ와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἀσύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΗ·
그리고 AC, CB 위의 정사각형들의 합은 AC, CB에 의한 직사각형의 두 배와 통약할 수 없으므로, EH도 TH와 통약할 수 없다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ μήκει.
그러므로 EM도 MT와 길이에서 통약할 수 없다.
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
그리고 둘 다 유리선이다.
αἱ ἄρα ΕΜ, ΜΘ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 EM, MT는 오직 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선들이다.
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΘΜ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΕΘ πάλιν ἀποτομή ἐστιν, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΘΝ. τῇ ἄρα ἀποτομῇ ἄλλη καὶ ἄλλη προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ·
그러므로 ET는 아포토메이고, 이에 붙여지는 직선은 TM이다. 마찬가지로 우리는 ET가 다시 아포토메이고, 이에 붙여지는 직선은 TN이라는 것을 보일 수 있다. 그러므로 같은 아포토메에 전체와 오직 제곱에서만 통약할 수 있는 서로 다른 유리 직선들이 붙여지게 된다.
ὅπερ ἐδείχθη ἀδύνατον.
그런데 이것은 불가능하다고 증명되었다.
οὐκ ἄρα τῇ ΑΒ ἑτέρα προσαρμόσει εὐθεῖα.
그러므로 AB에 다른 직선은 붙여지지 않을 것이다.
τῇ ἄρα ΑΒ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τά τε ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα ἅμα μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ δὶς ὑπʼ αὐτῶν·
그러므로 AB에 대해서는 전체와 제곱에서 통약할 수 없고, 전체와 함께 그것들 위의 정사각형들의 합을 동시에 중항으로 만들고 그것들에 의한 직사각형의 두 배를 중항으로 만들며 또한 그것들 위의 정사각형들을 그것들에 의한 직사각형의 두 배와 통약할 수 없게 만드는, 오직 하나의 직선만이 붙여진다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 했던 것이다.