§10.prop2.81τῇ μέσης ἀποτομῇ δευτέρᾳ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα.
第2の中項のアポトメーに対しては、全体と平方においてのみ通約可能であり、かつ全体とともに中項（の面積）を囲む中項直線がただ1つだけ適合する。
ἔστω μέσης ἀποτομὴ δευτέρα ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΓ·
なぜなら、第2の中項のアポトメーを ABとし、ABに適合する直線をBCとせよ。
αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
それゆえ、AC, CBは中項線であり、平方においてのみ通約可能で、AC, CBによる中項の（長方形）を囲む。
λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόσει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα.
私は言う、 ABに対して、全体と平方においてのみ通約可能であり、かつ全体とともに中項（の面積）を囲む別の（中項）直線は適合しないであろう。
εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ·
なぜなら、もし可能なら、BDが適合するとせよ。
καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ·
それゆえ、AD, DB もまた中項線であり、平方においてのみ通約可能で、AD, DBによる中項の（長方形）を囲む。 そして、有理直線EZを置き、AC, CB上の正方形の和に等しい（面積）EHを、EZに沿ってあてがい、幅としてEMを作らせよ。
τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΘΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΜ·
そして、AC, CBによる長方形の2倍に等しい（面積）ΘHを（EHから）引き去り、幅としてΘMを作らせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
それゆえ、残りのELはAB上の正方形に等しい。
ὥστε ἡ ΑΒ δύναται τὸ ΕΛ. πάλιν δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΙ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΝ·
したがって、ABはELを平方する。 ふたたび、AD, DB上の正方形の和に等しい（面積）EIを、EZに沿ってあてがい、幅としてENを作らせよ。
ἔστι δὲ καὶ τὸ ΕΛ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ·
ところで、ELもまたAB上の正方形に等しい。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΙ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ μέσαι εἰσὶν αἱ ΑΓ, ΓΒ, μέσα ἄρα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καί ἐστιν ἴσα τῷ ΕΗ·
それゆえ、残りのΘIは、AD, DBによる長方形の2倍に等しい。 そして、 AC, CBは中項線であるから、AC, CB上の正方形の和もまた中項である。 そして、それはEHに等しい。
μέσον ἄρα καὶ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ·
それゆえ、EHもまた中項である。 そして、それは有理直線EZにあてがわれて、幅としてEMを作っている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
それゆえ、EMは有理線であり、EZと長さにおいて通約不可能である。
πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἐστίν.
ふたたび、AC, CBによる長方形は中項であるから、AC, CBによる長方形の2倍もまた中項である。
καί ἐστιν ἴσον τῷ ΘΗ·
そして、それはΘHに等しい。
καὶ τὸ ΘΗ ἄρα μέσον ἐστίν.
それゆえ、ΘHもまた中項である。
καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΜ·
そして、それは有理直線EZにあてがわれて、幅としてΘMを作っている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΘΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
それゆえ、ΘMもまた有理線であり、EZと長さにおいて通約不可能である。
καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει.
そして、AC, CBは平方においてのみ通約可能であるから、ACはCBと長さにおいて通約不可能である。
ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
ところで、 ACがCBに対する比は、AC上の正方形がAC, CBによる長方形に対する比と同じである。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
それゆえ、AC上の正方形はAC, CBによる長方形と通約不可能である。 しかし、AC上の正方形に対してはAC, CB上の正方形の和が通約可能であり、AC, CBによる長方形に対してはAC, CBによる長方形の2倍が通約可能である。
ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΕΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΗΘ·
それゆえ、 AC, CB上の正方形の和は、AC, CBによる長方形の2倍と通約不可能である。 そして、AC, CB上の正方形の和に等しいものはEHであり、AC, CBによる長方形の2倍に等しいものはHΘである。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΗ. ὡς δὲ τὸ ΕΗ πρὸς τὸ ΘΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΜ πρὸς τὴν ΘΜ·
それゆえ、EHはΘHと通約不可能である。 ところで、EHのΘHに対する比は、EMのΘMに対する比と同じである。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ μήκει.
それゆえ、 EMはMΘと長さにおいて通約不可能である。
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
そして、両者は有理線である。
αἱ ΕΜ, ΜΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
それゆえ、EM, MΘは有理線であり、平方においてのみ通約可能である。
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΘΜ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΘΝ αὐτῇ προσαρμόζει·
それゆえ、EΘはアポトメーであり、それに適合する直線はΘMである。 同様にして、ΘNもまたそれに適合することを示すことができる。
τῇ ἄρα ἀποτομῇ ἄλλη καὶ ἄλλη προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ·
それゆえ、アポトメーに対して、全体と平方においてのみ通約可能である異なる直線が適合することになる。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
しかし、これは不可能である。
τῇ ἄρα μέσης ἀποτομῇ δευτέρᾳ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα·
それゆえ、第2の中項のアポトメーに対しては、全体と平方においてのみ通約可能であり、かつ全体とともに中項（の面積）を囲む中項直線がただ1つだけ適合する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。