§10.prop2.81τῇ μέσης ἀποτομῇ δευτέρᾳ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα.
제2 중항 아포토메에 대해서는 전체와 제곱에서만 통약할 수 있고 전체와 함께 중항면적을 둘러싸는 중항선이 오직 하나만 붙여진다.
ἔστω μέσης ἀποτομὴ δευτέρα ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΓ·
왜냐하면 제2 중항 아포토메를 AB라 하고, AB에 BC가 붙여진다고 하자.
αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
그러므로 AC, CB는 중항선이며 제곱에서만 통약할 수 있고 AC, CB에 의한 중항직사각형을 둘러싼다.
λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόσει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα.
나는 말한다, AB에 대해서는 전체와 제곱에서만 통약할 수 있고 전체와 함께 중항면적을 둘러싸는 다른 (중항)직선이 붙여질 수 없다.
εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ·
왜냐하면 만일 가능하다면 BD가 붙여진다고 하자.
καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ·
그러므로 AD, DB 도 중항선이며 제곱에서만 통약할 수 있고 AD, DB에 의한 중항직사각형을 둘러싼다. 그리고 유리선 EZ를 취하고, AC, CB 위의 정사각형들의 합과 같은 (면적) EH를 EZ를 따라 적용하여 폭 EM을 만들게 하자.
τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΘΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΜ·
그리고 AC, CB에 의한 직사각형의 두 배와 같은 (면적) ΘH를 잘라내어 폭 ΘM을 만들게 하자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
그러므로 남은 EL은 AB 위의 정사각형과 같다.
ὥστε ἡ ΑΒ δύναται τὸ ΕΛ. πάλιν δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΙ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΝ·
따라서 AB는 EL을 제곱한다. 다시, AD, DB 위의 정사각형들의 합과 같은 (면적) EI를 EZ를 따라 적용하여 폭 EN을 만들게 하자.
ἔστι δὲ καὶ τὸ ΕΛ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ·
그런데 EL도 AB 위의 정사각형과 같다.
λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΙ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ μέσαι εἰσὶν αἱ ΑΓ, ΓΒ, μέσα ἄρα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καί ἐστιν ἴσα τῷ ΕΗ·
그러므로 남은 ΘI는 AD, DB에 의한 직사각형의 두 배와 같다. 그리고 AC, CB가 중항선이므로 AC, CB 위의 정사각형들의 합도 중항면적이다. 그리고 그것은 EH와 같다.
μέσον ἄρα καὶ τὸ ΕΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ·
그러므로 EH도 중항면적이다. 그리고 그것은 유리선 EZ를 따라 적용되어 폭 EM을 만든다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
그러므로 EM은 유리선이며 EZ와 길이에서 통약할 수 없다.
πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἐστίν.
다시, AC, CB에 의한 직사각형이 중항면적이므로, AC, CB에 의한 직사각형의 두 배도 중항면적이다.
καί ἐστιν ἴσον τῷ ΘΗ·
그리고 그것은 ΘH와 같다.
καὶ τὸ ΘΗ ἄρα μέσον ἐστίν.
그러므로 ΘH도 중항면적이다.
καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΜ·
그리고 그것은 유리선 EZ를 따라 적용되어 폭 ΘM을 만든다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΘΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
그러므로 ΘM도 유리선이며 EZ와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει.
그리고 AC, CB는 제곱에서만 통약할 수 있으므로, AC는 CB와 길이에서 통약할 수 없다.
ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
그런데 AC 대 CB의 비는 AC 위의 정사각형 대 AC, CB에 의한 직사각형의 비와 같다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
그러므로 AC 위의 정사각형은 AC, CB에 의한 직사각형과 통약할 수 없다. 그러나 AC 위의 정사각형에 대해서는 AC, CB 위의 정사각형들의 합이 통약할 수 있고, AC, CB에 의한 직사각형에 대해서는 AC, CB에 의한 직사각형의 두 배가 통약할 수 있다.
ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΕΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΗΘ·
그러므로 AC, CB 위의 정사각형들의 합은 AC, CB에 의한 직사각형의 두 배와 통약할 수 없다. 그리고 AC, CB 위의 정사각형들의 합과 같은 것은 EH이고, AC, CB에 의한 직사각형의 두 배와 같은 것은 HΘ이다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΗ. ὡς δὲ τὸ ΕΗ πρὸς τὸ ΘΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΜ πρὸς τὴν ΘΜ·
그러므로 EH는 ΘH와 통약할 수 없다. 그런데 EH 대 ΘH의 비는 EM 대 ΘM의 비와 같다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ μήκει.
그러므로 EM은 MΘ와 길이에서 통약할 수 없다.
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
그리고 둘 다 유리선이다.
αἱ ΕΜ, ΜΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 EM, MΘ는 유리선이며 제곱에서만 통약할 수 있다.
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΘΜ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΘΝ αὐτῇ προσαρμόζει·
그러므로 EΘ는 아포토메이고, 거기에 붙여지는 선은 ΘM이다. 마찬가지로 ΘN도 거기에 붙여지는 것을 보일 수 있다.
τῇ ἄρα ἀποτομῇ ἄλλη καὶ ἄλλη προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ·
그러므로 아포토메에 대해 서로 다른 직선이 붙여지며 그것들은 전체와 제곱에서만 통약할 수 있다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그런데 이것은 불가능하다.
τῇ ἄρα μέσης ἀποτομῇ δευτέρᾳ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα·
그러므로 제2 중항 아포토메에 대해서는 전체와 제곱에서만 통약할 수 있고 전체와 함께 중항면적을 둘러싸는 중항선이 오직 하나만 붙여진다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 했던 것이다.