§10.prop2.77ἐὰν ἀπὸ εὐθείας εὐθεῖα ἀφαιρεθῇ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν·
直線から、全体と平方において通約不能であり、かつ全体とともに、それらの上の正方形の和を中項、それらによる長方形の2倍を有理とする直線が差し引かれるならば、残りは無理線である。
καλείσθω δὲ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.
そしてそれは有理とともに全体を中項にする（線）と呼ばれよ。
ἀπὸ γὰρ εὐθείας τῆς ΑΒ εὐθεῖα ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ΑΒ ποιοῦσα τὰ προκείμενα·
なぜなら、直線ABから、ABと平方において通約不能であり、提示された性質を満たす直線BCが差し引かれているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ προειρημένη.
私は言う、残りのACは、前述の無理線である。
ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων μέσον ἐστίν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν, ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
なぜなら、AB, BC上の正方形の和は中項であり、AB, BCによる長方形の2倍は有理であるので、それゆえAB, BC上の正方形の和は、AB, BCによる長方形の2倍と通約不能である。
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν·
したがって、残りのAC上の正方形も、AB, BCによる長方形の2倍と通約不能である。 そして、AB, BCによる長方形の2倍は有理である。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ ἄλογόν ἐστιν·
それゆえ、AC上の正方形は無理である。
ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ·
それゆえACは無理線である。
καλείσθω δὲ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.
そしてそれは有理とともに全体を中項にする（線）と呼ばれよ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop2.78ἐὰν ἀπὸ εὐθείας εὐθεῖα ἀφαιρεθῇ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον τό τε δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ δὶς ὑπʼ αὐτῶν, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν·
直線から、全体と平方において通約不能であり、かつ全体とともに、それらの上の正方形の和を中項とし、それらによる長方形の2倍を中項とし、さらにそれらの上の正方形の和が、それらによる長方形の2倍と通約不能であるような直線が差し引かれるならば、残りは無理線である。
καλείσθω δὲ ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.
そしてそれは中項とともに全体を中項にする（線）と呼ばれよ。
ἀπὸ γὰρ εὐθείας τῆς ΑΒ εὐθεῖα ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ΑΒ ποιοῦσα τὰ προκείμενα·
なぜなら、直線ABから、ABと平方において通約不能であり、提示された性質を満たす直線BCが差し引かれているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.
私は言う、残りのACは、中項とともに全体を中項にする（線）と呼ばれる無理線である。
Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΙ, καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΙ παραβεβλήσθω τὸ ΔΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΔΘ.
なぜなら、有理線DIが設定され、AB, BC上の正方形の和に等しい面積DEがDIに沿ってあてがわれ、幅DHを作るとせよ。 また、AB, BCによる長方形 of の2倍に等しい面積DΘが差し引かれるとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ·
したがって、残りのZEはAC上の正方形に等しい。
ὥστε ἡ ΑΓ δύναται τὸ ΖΕ. καὶ ἐπεὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΕ, μέσον ἄρα τὸ ΔΕ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ·
したがって、ACはZEに等しい正方形を作る。 そして、AB, BC上の正方形の和は中項であり、かつDEに等しいので、それゆえDEは中項である。 そして、それは有理線DIに沿ってあてがわれ、幅DHを作っている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει.
それゆえDHは有理線であり、DIと長さにおいて通約不能である。
πάλιν, ἐπεὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΘ, τὸ ἄρα ΔΘ μέσον ἐστίν.
再び、AB, BCによる長方形の2倍は中項であり、かつDΘに等しいので、それゆえDΘも中項である。
καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ·
そしてそれは有理線DIに沿ってあてがわれ、幅DZを作っている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει.
それゆえDZも有理線であり、DIと長さにおいて通約不能である。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΔΕ τῷ ΔΘ. ὡς δὲ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΔΘ, οὕτως ἐστὶ καὶ ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΔΖ·
そして、AB, BC上の正方形の和は、AB, BCによる長方形の2倍と通約不能であるので、それゆえDEもDΘと通約不能である。 ところで、DEのDΘに対する比は、 DHのDZに対する比に等しい。
ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΔΗ τῇ ΔΖ. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
それゆえDHはDZと通約不能である。 そして、それらは両方とも有理線である。
αἱ ΗΔ, ΔΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
それゆえHD, DZは有理線であり、平方においてのみ通約可能である。
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ·
それゆえZHはアポトメーである。
ῥητὴ δὲ ἡ ΖΘ. τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς περιεχόμενον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν.
そして、ZΘは有理線である。 ところで、有理線とアポトメーによって囲まれる長方形は無理であり、かつその平方に等しい正方形を作る線も無理線である。
καὶ δύναται τὸ ΖΕ ἡ ΑΓ·
そしてACはZEに等しい正方形を作る。
ἡ ΑΓ ἄρα ἄλογός ἐστιν·
それゆえACは無理線である。
καλείσθω δὲ ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.
そしてそれは中項とともに全体を中項にする（線）と呼ばれよ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。