§10.prop2.75ἐὰν ἀπὸ μέσης μέση ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλη, μετὰ δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν·
\n中項線から、全体と平方においてのみ通約可能であり、かつ全体とともに中項面積を囲む中項線が引かれるならば、残りは無理線である。
καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ δευτέρα.
そしてそれは第二中項アポトメーと呼ばれよ。
ἀπὸ γὰρ μέσης τῆς ΑΒ μέση ἀφῃρήσθω ἡ ΓΒ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ τῇ ΑΒ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης τῆς ΑΒ μέσον περιέχουσα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
\nなぜなら、中項線ABから、全体ABと平方においてのみ通約可能であり、かつ全体ABとともに、AB, BCによる中項な長方形を囲む中項線GBが差し引かれているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν·
私は言う、残りのACは無理線である。
καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ δευτέρα.
そしてそれは第二中項アポトメーと呼ばれよ。
Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΙ, καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΙ παραβεβλήσθω τὸ ΔΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΙ παραβεβλήσθω τὸ ΔΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ·
\nなぜなら、有理線DIが設定され、 AB, BC上の正方形の和に等しい面積DEがDIに沿ってあてがわれ、幅DHを作るとせよ。 また、AB, BCによる長方形の2倍に等しい面積DΘがDIに沿ってあてがわれ、幅DZを作るとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ. καὶ ἐπεὶ μέσα καὶ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, μέσον ἄρα καὶ τὸ ΔΕ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ·
したがって、残りのZEはAC上の正方形に等しい。 そして、AB, BC上の正方形の和は中項であり、かつ互いに通約可能であるので、それゆえ面積DEも中項である。 そして、それは有理線DIに沿ってあてがわれ、幅 DHを作っている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει.
それゆえDHは有理線であり、DIと長さにおいて通約不能である。
πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν.
再び、AB, BCによる長方形が中項であるので、それゆえAB, BCによる長方形の2倍も中項である。
καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΘ·
アドンDΘに等しい。
καὶ τὸ ΔΘ ἄρα μέσον ἐστίν.
それゆえDΘも中項である。
καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ·
そしてそれは有理線DIに沿ってあてがわれ、幅DZを作っている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει.
それゆえDZは有理線であり、DIと長さにおいて通約不能である。
καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΒ, ΒΓ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει·
そして、AB, BCは平方においてのみ通約可能であるので、それゆえABはBCと長さにおいて通約不能である。
ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
それゆえ、AB上の正方形も、AB, BCによる長方形と通約不能である。 しかし、AB上の正方形に対して、AB, BC上の正方形の和は通約可能であり、AB, BCによる長方形に対して、AB, BCによる長方形の2倍は通約可能である。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἴσον δὲ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τὸ ΔΕ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τὸ ΔΘ·
それゆえ、AB, BCによる長方形の2倍は、AB, BC上の正方形の和と通約不能である。 ところで、AB, BC上の正方形の和にDEが等しく、AB, BCによる長方形の2倍にDΘが等しい。
ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΔΕ τῷ ΔΘ. ὡς δὲ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΔΘ, οὕτως ἡ ΗΔ πρὸς τὴν ΔΖ·
それゆえDEはDΘと通約不能である。 ところで、 DEのDΘに対する比は、HDのDZに対する比に等しい。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΔ τῇ ΔΖ. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
それゆえHDはDZと通約不能である。 そして、それらは両方とも有理線である。
αἱ ἄρα ΗΔ, ΔΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
それゆえHD, DZは有理線であり、平方においてのみ通約可能である。
ἡ ΖΗ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.
それゆえZHはアポトメーである。
ῥητὴ δὲ ἡ ΔΙ·
ところで、DIは有理線である。
τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀλόγου περιεχόμενον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν.
検、有理線と無理線によって囲まれる長方形は無理であり、かつその平方に等しい正方形を作る線も無理線である。
καὶ δύναται τὸ ΖΕ ἡ ΑΓ·
そしてACはZEに等しい正方形を作る。
ἡ ΑΓ ἄρα ἄλογός ἐστιν·
それゆえACは無理線である。
καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ δευτέρα.
そしてそれは第二中項アポトメーと呼ばれよ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop2.76ἐὰν ἀπὸ εὐθείας εὐθεῖα ἀφαιρεθῇ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὰ μὲν ἀπʼ αὐτῶν ἅμα ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν·
\n\n直線から、全体と平方において通約不能であり、かつ全体とともに、それらの上の正方形の和を有理、それらによる長方形を中項とする直線が差し引かれるならば、残りは無理線である。
καλείσθω δὲ ἐλάσσων.
そしてそれはより小さい（線）と呼ばれよ。
ἀπὸ γὰρ εὐθείας τῆς ΑΒ εὐθεῖα ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ ποιοῦσα τὰ προκείμενα.
\nなぜなら、直線ABから、全体と平方において通約不能であり、提示された性質を満たす直線BCが差し引かれているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.
私は言う、残りのACは、より小さい（線）と呼ばれる無理線である。
ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων ῥητόν ἐστιν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον, ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
\nなぜなら、AB, BC上の正方形の和は有理であり、AB, BCによる長方形の2倍は中項であるので、それゆえAB, BC上の正方形の和は、AB, BCによる長方形の2倍と通約不能である。
καὶ ἀναστρέψαντι λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ·
そして、反転することによって、残りのAC上の正方形に対しても、AB, BC上の正方形の和は通約不能である。 ところで、AB, BC上の正方形の和は有理である。 それゆえ、AC上の正方形は無理である。
ἄλογος ἄρα ἡ ΑΓ·
\nそれゆえACは無理線である。
καλείσθω δὲ ἐλάσσων.
そしてそれはより小さい（線）と呼ばれよ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。