§10.prop2.73ἐὰν ἀπὸ ῥητῆς ῥητὴ ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν·
有理線から、全体と平方においてのみ通約可能である有理線が差し引かれるならば、残りは無理線である。
καλείσθω δὲ ἀποτομή.
そしてそれはアポトメーと呼ばれよ。
ἀπὸ γὰρ ῥητῆς τῆς ΑΒ ῥητὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ·
なぜなら、有理線ABから、全体と平方においてのみ通約可能である有理線BCが差し引かれているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.
私は言う、残りのACはアポトメーと呼ばれる無理線である。
ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καὶ ἐπειδήπερ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΑ, καὶ λοιπῷ ἄρα τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
なぜなら、ABはBCと長さにおいて通約不能であり、かつABのBCに対する比は、AB上の正方形の、ABとBCによって囲まれる長方形に対する比に等しいので、それゆえAB上の正方形は、AB, BCによる長方形と通約不能である。 しかし、AB上の正方形に対して、 AB, BC上の正方形の和は通約可能であり、AB, BCによる長方形に対して、AB, BCによる長方形の2倍は通約可能である。 そして、AB, BC上の正方形の和は、AB, BCによる長方形の2倍にAC上の正方形を加えたものに等しいので、それゆえ残りのAC上の正方形に対しても、AB, BC上の正方形の和は通約不能である。 ところが、AB, BC上の正方形の和は有理である。
ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ·
それゆえ、ACは無理線である。
καλείσθω δὲ ἀποτομή.
そしてそれはアポトメーと呼ばれよ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop2.74ἐὰν ἀπὸ μέσης μέση ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν·
中項線から、全体と平方においてのみ通約可能であり、かつ全体とともに有理面積を囲む中項線が引かれるならば、残りは無理線である。
καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ πρώτη.
そしてそれは第一中項アポトメーと呼ばれよ。
ἀπὸ γὰρ μέσης τῆς ΑΒ μέση ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ΑΒ, μετὰ δὲ τῆς ΑΒ ῥητὸν ποιοῦσα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
なぜなら、中項線ABから、ABと平方においてのみ通約可能であり、かつABとともに、AB, BCによる有理な長方形を作る中項線BCが差し引かれているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν·
私は言う、残りのACは無理線である。
καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ πρώτη.
そしてそれは第一中項アポトメーと呼ばれよ。
ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ μέσαι εἰσίν, μέσα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
なぜなら、AB, BCは中項線であるので、AB, BC上の正方形の和も中項である。 ところが、AB, BCによる長方形の2倍は有理である。
ἀσύμμετρα ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
それゆえ、AB, BC上の正方形の和は、AB, BCによる長方形の2倍と通約不能である。
καὶ λοιπῷ ἄρα τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἐπεὶ κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη ἀσύμμετρα ἔσται.
それゆえ、残りのAC上の正方形に対しても、AB, BCによる長方形の2倍は通約不能である。 なぜなら、もし全体がそのうちの一つと通約不能であるならば、最初の大きさ同士も通約不能であるからである。
ῥητὸν δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
ところで、AB, BCによる長方形の2倍は有理である。
ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ·
それゆえ、AC上の正方形は無理である。
ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ·
それゆえ、ACは無理線である。
καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ πρώτη.
そしてそれは第一中項アポトメーと呼ばれよ。