§10.prop2.75ἐὰν ἀπὸ μέσης μέση ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλη, μετὰ δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν·
\n만일 중항선에서 전체와 제곱에서만 통약할 수 있고 전체와 함께 중항면적을 둘러싸는 중항선이 빼진다면, 남은 것은 무리선이다.
καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ δευτέρα. ἀπὸ γὰρ μέσης τῆς ΑΒ μέση ἀφῃρήσθω ἡ ΓΒ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ τῇ ΑΒ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης τῆς ΑΒ μέσον περιέχουσα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
그리고 그것은 제이 중항 아포토메라고 불려라.\n왜냐하면 중항선 AB에서 전체 AB와 제곱 에서만 통약할 수 있고 전체 AB와 함께 AB, BC에 의한 중항 직사각형을 둘러싸는 중항선 GB가 빼져 있다고 하라.
λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν·
나는 말한다, 남은 AC는 무리선이다.
καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ δευτέρα. Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΙ, καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΙ παραβεβλήσθω τὸ ΔΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΙ παραβεβλήσθω τὸ ΔΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ·
그리고 그것은 제이 중항 아포토메라고 불려라.\n왜냐하면 유리선 DI가 설정되고, AB, BC 위의 정사각형들의 합에 같은 면적 DE가 DI에 따라 적용되어 폭 DH를 만들고, AB, BC에 의한 직사각형의 두 배에 같은 면적 DΘ가 DI에 따라 적용되어 폭 DZ를 만든다고 하라.
λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ. καὶ ἐπεὶ μέσα καὶ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, μέσον ἄρα καὶ τὸ ΔΕ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ·
그러므로 남은 ZE는 AC 위의 정사각형과 같다. 그리고 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 중항이고 통약할 수 있으므로, 그러므로 면적 DE도 중항이다. 그리고 그것은 유리선 DI에 따라 적용되어 폭 DH를 만들고 있다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει.
그러므로 DH는 유리선이고 DI와 길이에서 통약할 수 없다.
πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν.
다시, AB, BC에 의한 직사각형이 중항이므로, 그러므로 AB, BC에 의한 직사각형의 두 배도 중항이다.
καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΘ·
그리고 그것은 DΘ와 같다.
καὶ τὸ ΔΘ ἄρα μέσον ἐστίν.
그러므로 DΘ도 중항이다.
καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ·
그리고 그것은 유리선 DI에 따라 적용되어 폭 DZ를 만들고 있다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει.
그러므로 DZ는 유리선이고 DI와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΒ, ΒΓ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει·
그리고 AB, BC는 제곱에서만 통약할 수 있으므로, 그러므로 AB는 BC와 길이에서 통약할 수 없다.
ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
그러므로 AB 위의 정사각형도 AB, BC에 의한 직사각형과 통약할 수 없다. 그런데 AB 위의 정사각형에 대해 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 통약할 수 있고, AB, BC에 의한 직사각형에 대해 AB, BC에 의한 직사각형의 두 배는 통약할 수 있다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἴσον δὲ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τὸ ΔΕ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τὸ ΔΘ·
그러므로 AB, BC에 의한 직사각형의 두 배는 AB, BC 위의 정사각형들의 합과 통약할 수 없다. 그런데 AB, BC 위의 정사각형들의 합에 DE가 같고, AB, BC에 의한 직사각형의 두 배에 DΘ가 같다.
ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΔΕ τῷ ΔΘ. ὡς δὲ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΔΘ, οὕτως ἡ ΗΔ πρὸς τὴν ΔΖ·
그러므로 DE는 DΘ와 통약할 수 없다. 그런데 DE의 DΘ에 대한 비는 HD의 DZ에 대한 비와 같다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΔ τῇ ΔΖ. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
그러므로 HD는 DZ와 통약할 수 없다. 그리고 둘 다 유리선이다.
αἱ ἄρα ΗΔ, ΔΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 HD, DZ는 유리선이고 제곱에서만 통약할 수 있다.
ἡ ΖΗ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.
그러므로 ZH는 아포토메이다.
ῥητὴ δὲ ἡ ΔΙ·
그런데 DI는 유리선이다.
τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀλόγου περιεχόμενον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν.
그리고 유리선과 무리선에 의해 둘러싸인 직사각형은 무리이고, 그것과 같은 정사각형을 만드는 선도 무리선이다.
καὶ δύναται τὸ ΖΕ ἡ ΑΓ·
그리고 AC는 ZE와 같은 정사각형을 만든다.
ἡ ΑΓ ἄρα ἄλογός ἐστιν·
그러므로 AC는 무리선이다.
καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ δευτέρα.
그리고 그것은 제이 중항 아포토메라고 불려라.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι. §10.prop2.76ἐὰν ἀπὸ εὐθείας εὐθεῖα ἀφαιρεθῇ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὰ μὲν ἀπʼ αὐτῶν ἅμα ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν·
이것이 보여야 했던 것이다.\n\n만일 직선에서 전체와 제곱에서 통약할 수 없고 전체와 함께 그것들 위의 정사각형들의 합을 유리로, 그것들에 의한 직사각형의 두 배를 중항으로 만드는 직선이 빼진다면, 남은 것은 무리선이다.
καλείσθω δὲ ἐλάσσων.
그리고 그것은 소선이라고 불려라.
ἀπὸ γὰρ εὐθείας τῆς ΑΒ εὐθεῖα ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ ποιοῦσα τὰ προκείμενα.
\n왜냐하면 직선 AB에서 전체와 제곱에서 통약할 수 없고 제시된 성질을 만드는 직선 BC가 빼져 있다고 하라.
λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων. ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων ῥητόν ἐστιν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον, ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
나는 말한다, 남은 AC는 소선이라고 불리는 무리선이다.\n왜냐하면 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 유리이고, AB, BC에 의한 직사각형의 두 배는 중항이므로, 그러므로 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 AB, BC에 의한 직사각형의 두 배와 통약할 수 없다.
καὶ ἀναστρέψαντι λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ·
그리고 반전함으로써 남은 AC 위의 정사각형에 대해서도 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 통약할 수 없다. 그런데 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 유리이다. 그러므로 AC 위의 정사각형은 무리이다.
ἄλογος ἄρα ἡ ΑΓ·
\n그러므로 AC는 무리선이다.
καλείσθω δὲ ἐλάσσων.
그리고 그것은 소선이라고 불려라.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 했던 것이다.