§10.prop2.67ἡ τῇ ἐκ δύο μέσων μήκει σύμμετρος καὶ αὐτὴ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή.
二中項線と長さにおいて通約可能な直線は、自身も二中項線であり、かつ同じ順位のものである。
ἔστω ἐκ δύο μέσων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἔστω μήκει ἡ ΓΔ·
ABを二中項線とし、CDをABと長さにおいて通約可能とせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.
ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο μέσων ἐστὶν ἡ ΑΒ, διῃρήσθω εἰς τὰς μέσας κατὰ τὸ Ε·
私は言う、CDは二中項線であり、かつABと同じ順位のものであると。
αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.
なぜなら、ABは二中項線であるので、Eにおいてその中項に分けられているとし、したがってAE, EBは平方においてのみ通約可能な中項直線である。
καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ, ἡ ΑΕ πρὸς ΓΖ·
そして、ABのCDに対する比が、AEのCZに対する比と同じになるようにせよ。
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΖΔ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ. σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει·
したがって、残りのEBと残りのZDの比も、ABとCDの比と同じである。 ところで、ABはCDと長さにおいて通約可能である。
σύμμετρος ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΖ, ΖΔ. μέσαι δὲ αἱ ΑΕ, ΕΒ·
したがって、AE, EBのそれぞれは、CZ, ZDのそれぞれと通約可能である。 そして、AE, EBは中項直線である。
μέσαι ἄρα καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, αἱ δὲ ΑΕ, ΕΒ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν.
したがって、CZ, ZDもまた中項直線である。 そして、AEのEBに対する比は、 CZのZDに対する比に等しく、AE, EBは平方においてのみ通約可能であるので、CZ, ZDもまた平方においてのみ通約可能である。
ἐδείχθησαν δὲ καὶ μέσαι·
しかもそれらは中項直線であると示された。
ἡ ΓΔ ἄρα ἐκ δύο μέσων ἐστίν.
したがって、CDは二中項線である。
λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή ἐστι τῇ ΑΒ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ·
確かに、それがABと同じ順位であることを言う。 なぜなら、AEのEBに対する比はCZのZDに対する比に等しいので、したがって、AE上の正方形の、AE, EBによって囲まれる長方形に対する比も、CZ上の正方形の、CZ, ZDによって囲まれる長方形に対する比と同じである。
ἐναλλὰξ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ·
交互比により、AE上の正方形の、CZ上の正方形に対する比は、AE, EBによって囲まれる長方形の、CZ, ZDによって囲まれる長方形に対する比と同じである。 ところで、AE上の正方形はCZ上の正方形と通約可能である。
σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ. εἴτε οὖν ῥητόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ ῥητόν ἐστιν. εἴτε μέσον, μέσον, καί ἐστιν ἑκατέρα δευτέρα.
したがって、AE, EBによって囲まれる長方形も、CZ, ZDによって囲まれる長方形と通約可能である。 それゆえ、もしAE, EBによって囲まれる長方形が有理であるならば、CZ, ZDによって囲まれる長方形も有理であり、もし中項であるならば、中項であり、それぞれのそれぞれは第二である。
καὶ διὰ τοῦτο ἔσται ἡ ΓΔ τῇ ΑΒ τῇ τάξει ἡ αὐτή·
そして、このことによってCDはABと同じ順位のものである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop2.68ἡ τῇ μείζονι σύμμετρος καὶ αὐτὴ μείζων ἐστίν.
大線と通約可能な直線は、自身も大線である。
ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ·
ABを大線とし、CDをABと通約可能とせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ μείζων ἐστίν.
私は言う、CDは大線であると。
διῃρήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Ε· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον·
ABはEにおいて分けられているとし、したがってAE, EBは平方において通約不能であり、それらの上の正方形の和を有理にし、かつそれらによって囲まれる長方形を中項にする。
καὶ γεγονέτω τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον.
そして、これより前のものと同様に作図せよ。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἥ τε ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ καὶ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ. σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ. σύμμετρος ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΖ, ΖΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, καὶ συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΖ·
そして、ABのCDに対する比は、AEのCZに対する比およびEBの ZDに対する比と同じであるので、したがって、AEのCZに対する比は、EBのZDに対する比と同じである。 ところで、ABはCDと通約可能である。 したがって、AE, EBのそれぞれも、CZ, ZDのそれぞれと通約可能である。 そして、AEのCZに対する比は、EBの ZDに対する比と同じであるので、交互比により、AEのEBに対する比は、CZのZDに対する比に等しく、したがって、合比により、ABのBEに対する比は、CDのDZに対する比に等しい。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ·
したがって、AB上の正方形の、BE上の正方形に対する比は、CD上の正方形の、DZ上の正方形に対する比と同じである。 同様に再び、 AB上の正方形の、AE上の正方形に対する比は、CD上の正方形の、CZ上の正方形に対する比と同じであることを示すであろう。 したがって、AB上の正方形の、AE, EB上の正方形の和に対する比は、CD上の正方形の、CZ, ZD上の正方形の和に対する比と同じである。
καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ·
したがって、交互比により、AB上の正方形の、CD上の正方形に対する比は、AE, EB上の正方形の和の、 CZ, ZD上の正方形の和に対する比と同じである。 ところで、AB上の正方形はCD上の正方形と通約可能である。
σύμμετρα ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ ἅμα ῥητόν, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ ἅμα ῥητόν ἐστιν.
したがって、AE, EB上の正方形の和も、CZ, ZD上の正方形の和と通約可能である。 そして、AE, EB上の正方形の和は有理である。 したがって、CZ, ZD上の正方形の和も有理である。
ὁμοίως δὲ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ σύμμετρόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. καί ἐστι μέσον τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ·
同様に、AE, EBによって囲まれる長方形の2倍も、 CZ, ZDによって囲まれる長方形の2倍と通約可能である。 そして、AE, EBによって囲まれる長方形の2倍は中項である。
μέσον ἄρα καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροί εἰσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ἅμα ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον·
したがって、CZ, ZDによって囲まれる長方形の2倍も中項である。 したがって、CZ, ZDは平方において通約不能であり、それらの上の正方形の和を有理にし、かつそれらの2倍の長方形を中項にする。
ὅλη ἄρα ἡ ΓΔ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.
したがって、全体としてのCDは、大線と呼ばれる無理直線である。
ἡ ἄρα τῇ μείζονι σύμμετρος μείζων ἐστίν·
したがって、大線と通約可能な直線は大線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。