§10.prop2.65τὸ ἀπὸ τῆς δύο μέσα δυναμένης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτην.
2つの中項を平方しうる線上の正方形を有理直線に沿って適用して作られる長方形の幅は、第六二名線を作る。
ἔστω δύο μέσα δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ῥητὴ δὲ ἔστω ἡ ΔΕ. καὶ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ·
ABをCにおいて分けられた、2つの中項を平方しうる線とし、DEを有理直線とせよ。 そしてDEに沿って、AB上の正方形に等しい平行四辺形DZが適用され、幅DHを作るとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη.
私は言う、DHは第六二名線であると。
Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον.
なぜなら、これより前のものと同様に作図せよ。
καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ δύο μέσα δυναμένη ἐστὶ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων συγκείμενον τῷ ὑπʼ αὐτῶν·
そして、ABはCにおいて分けられた、2つの中項を平方しうる線であるので、したがってAC, CBは平方において通約不能であり、それらの上の正方形の和を中項にし、かつそれらによって囲まれる長方形を中項にし、さらにそれらの上の正方形の和を、それらによって囲まれる長方形と通約不能にする。
ὥστε κατὰ τὰ προδεδειγμένα μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΔΛ, ΜΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
したがって、すでに示されたものと同様に、DL, MZのそれぞれは中項である。 そして、それらは有理直線DEに沿って適用されているので、したがってDM, MHのそれぞれは有理であり、かつDEと長さにおいて通約不能である。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ τῷ ΜΖ. ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ·
そして、AC, CB上の正方形の和は、 AC, CBによって囲まれる長方形の2倍と通約不能であるので、したがってDLはMZと通約不能である。 したがって、DMもMHと通約不能である。
αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、DM, MHは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἕκτη.
したがって、DHは二名線である。 確かに、それが第六であることを言う。
ὁμοίως δὴ πάλιν δείξομεν, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ, καὶ ὅτι ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ μήκει ἐστὶν ἀσύμμετρος·
同様に再び、DK, KMによって囲まれる長方形はMN上の正方形に等しいこと、およびDKはKMと長さにおいて通約不能であることを示すであろう。
καὶ διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
そして、同じ理由によって、DMはMHに比べて、自身と長さにおいて通約不能な直線による正方形だけ大きく平方しうる。
καὶ οὐδετέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ μήκει.
そして、DM, MHのどちらも、与えられた有理直線 DEと長さにおいて通約可能ではない。
ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη·
したがって、DHは第六二名線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop2.66ἡ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων μήκει σύμμετρος καὶ αὐτὴ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή.
二名線と長さにおいて通約可能な直線は、自身も二名線であり、かつ同じ順位のものである。
ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ·
ABを二名線とし、CDをABと長さにおいて通約可能とせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.
ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ, διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἔστω μεῖζον ὄνομα τὸ ΑΕ·
私は言う、CDは二名線であり、かつABと同じ順位のものであると。 なぜなら、ABは二名線であるので、Eにおいてその項に分けられているとし、AEを大きい方の項とせよ。
αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
したがって、AE, EBは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
γεγονέτω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ·
ABのCDに対する比が、AEの CZに対する比と同じになるようにせよ。
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΖΔ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ. σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει.
したがって、残りのEBと残りのZDの比も、ABとCDの比と同じである。 ところで、ABはCDと長さにおいて通約可能である。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΕΒ τῇ ΖΔ. καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ·
したがって、AEもCZと、EBもZDと通約可能である。 そして、AE, EBは有理である。
ῥηταὶ ἄρα εἰσὶ καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ. καὶ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΓΖ, ἡ ΕΒ πρὸς ΖΔ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ. αἱ δὲ ΑΕ, ΕΒ δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、CZ, ZDもまた有理である。 そして、AEのCZに対する比は、EBの ZDに対する比に等しい。 したがって、交互比により、AEのEBに対する比は、CZのZDに対する比に等しい。 ところで、AE, EBは平方においてのみ通約可能である。
καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.
したがって、CZ, ZDもまた平方においてのみ通約可能である。
καί εἰσι ῥηταί·
しかもそれらは有理である。
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΓΔ.
λέγω δή, ὅτι τῇ τάξει ἐστὶν ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.
ἡ γὰρ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται ἤτοι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.
したがって、CDは二名線である。 確かに、それがABと同じ順位であることを言う。 なぜなら、AEはEBに比べて、自身と長さにおいて通約可能な直線による正方形、または通約不能な直線による正方形だけ大きく平方しうるからである。
εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
そこで、もしAEがEBに比べて、自身と通約可能な直線による正方形だけ大きく平方しうるならば、CZもZDに比べて、自身と通約可能な直線による正方形だけ大きく平方しうる。
καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καὶ ἡ ΓΖ σύμμετρος αὐτῇ ἔσται, καὶ διὰ τοῦτο ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη, τουτέστι τῇ τάξει ἡ αὐτή.
そして、もしAEが与えられた有理直線と通約可能であるならば、CZもそれと通約可能であり、このことによってAB, CDのそれぞれは第一二名線であり、すなわち同じ順位のものである。
εἰ δὲ ἡ ΕΒ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καὶ ἡ ΖΔ σύμμετρός ἐστιν αὐτῇ, καὶ διὰ τοῦτο πάλιν τῇ τάξει ἡ αὐτὴ ἔσται τῇ ΑΒ·
もしEBが与えられた有理直線と通約可能であるならば、ZDもそれと通約可能であり、このことによって再びそれはABと同じ順位のものである。
ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἔσται ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρα.
なぜなら、それらのそれぞれは第二二名線となるからである。
εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, οὐδετέρα τῶν ΓΖ, ΖΔ σύμμετρος αὐτῇ ἔσται, καί ἐστιν ἑκατέρα τρίτη.
もしAE, EBのどちらも与えられた有理直線と通約可能でないならば、CZ, ZDのどちらもそれと通約可能ではなく、それぞれのそれぞれは第三二名線である。
εἰ δὲ ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
もしAEがEBに比べて、自身と通約不能な直線による正方形だけ大きく平方しうるならば、CZもZDに比べて、自身と通約不能な直線による正方形だけ大きく平方しうる。
καὶ εἰ μὲν ἡ ΑΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καὶ ἡ ΓΖ σύμμετρός ἐστιν αὐτῇ, καί ἐστιν ἑκατέρα τετάρτη.
そして、もしAEが与えられた有理直線と通約可能であるならば、CZもそれと通約可能であり、それぞれのそれぞれは第四二名線である。
εἰ δὲ ἡ ΕΒ, καὶ ἡ ΖΔ, καὶ ἔσται ἑκατέρα πέμπτη.
もしEBが（通約可能である）ならば、ZDも（通約可能であり）、それぞれのそれぞれは第五二名線となる。
εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, καὶ τῶν ΓΖ, ΖΔ οὐδετέρα σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καὶ ἔσται ἑκατέρα ἕκτη.
もしAE, EBのどちらも通約可能でないならば、CZ, ZDのどちらも与えられた有理直線と通約可能ではなく、それぞれのそれぞれは第六二名線となる。
ὥστε ἡ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων μήκει σύμμετρος ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή·
したがって、二名線と長さにおいて通約可能な直線は、二名線であり、かつ同じ順位のものである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。