§10.prop2.67ἡ τῇ ἐκ δύο μέσων μήκει σύμμετρος καὶ αὐτὴ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή.
与二中面线在长度上共测的线，其自身也是二中面线，且在次序上相同。
ἔστω ἐκ δύο μέσων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἔστω μήκει ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.
ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο μέσων ἐστὶν ἡ ΑΒ, διῃρήσθω εἰς τὰς μέσας κατὰ τὸ Ε·
设AB为二中面线，且设CD在长度上与AB共测；我说，CD是二中面线，且在次序上与AB相同。
αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.
因为AB是二中面线，设它在E处被分成它的中面项；因此AE、EB是仅在平方上共测的中面线。
καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ, ἡ ΑΕ πρὸς ΓΖ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΖΔ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ. σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει·
使得如同AB对CD，AE也对CZ；因此余下的EB对余下的ZD也如同AB对CD。
σύμμετρος ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΖ, ΖΔ. μέσαι δὲ αἱ ΑΕ, ΕΒ· μέσαι ἄρα καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, αἱ δὲ ΑΕ, ΕΒ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν.
而AB在长度上与CD共测；因此AE、EB的每一个也分别与CZ、ZD的每一个共测。 而AE、EB是中面线；因此CZ、ZD也是中面线。 且因为如同AE对EB， CZ也对ZD，而AE、EB仅在平方上共测，所以CZ、ZD也仅在平方上共测。
ἐδείχθησαν δὲ καὶ μέσαι· ἡ ΓΔ ἄρα ἐκ δύο μέσων ἐστίν.
并且它们已被证明是中面线；因此CD是二中面线。
λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή ἐστι τῇ ΑΒ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ· ἐναλλὰξ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ· σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ. εἴτε οὖν ῥητόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ ῥητόν ἐστιν. εἴτε μέσον, μέσον, καί ἐστιν ἑκατέρα δευτέρα.
我现在说，它在次序上也与AB相同。 因为如同AE对EB，CZ也对ZD，所以如同AE之上的正方形对由AE、EB所围成的矩形，CZ之之上正方形也对由CZ、ZD所围成的矩形；交互地，如同AE之上的正方形对CZ之上的正方形，由AE、EB所围成的矩形也对由CZ、ZD所围成的矩形。 而AE之上的正方形与CZ之上的正方形共测；因此由 AE、EB所围成的矩形也与由CZ、ZD所围成的矩形共测。 因此，若由AE、EB所围成的矩形是有理的，由CZ、ZD所围成的矩形也是有理的；若是中面，则也是中面，且每一个都是第二。
καὶ διὰ τοῦτο ἔσται ἡ ΓΔ τῇ ΑΒ τῇ τάξει ἡ αὐτή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
且因此CD在次序上与AB相同；即所要求证的。
§10.prop2.68ἡ τῇ μείζονι σύμμετρος καὶ αὐτὴ μείζων ἐστίν.
与大线共测的线，其自身也是大线。
ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ μείζων ἐστίν.
设AB为大线，且设CD与AB共测；我说，CD是大线。
διῃρήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Ε· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον·
设AB在E处被分；因此AE、EB在平方上不共测，它们使得它们之上的正方形之和为有理，而由它们所围成的矩形为中面。
καὶ γεγονέτω τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον.
且设作图与先前相同。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἥ τε ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ καὶ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ. σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ. σύμμετρος ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΖ, ΖΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, καὶ συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΖ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ· σύμμετρα ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ ἅμα ῥητόν, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ ἅμα ῥητόν ἐστιν.
且因为如同AB对CD，AE也对CZ，且EB对 ZD，所以如同AE对CZ，EB也对ZD。 而AB与CD共测；因此AE、EB的每一个也分别与CZ、ZD的每一个共测。 且因为如同AE对CZ，EB也对 ZD，所以交互地，如同AE对EB，CZ也对ZD；因此合比后，如同AB对BE，CD也对DZ；所以如同AB之上的正方形对BE之上的正方形，CD之上的正方形也对DZ之上的正方形。 同样地，我们将证明也如同AB之上的正方形对AE之上的正方形，CD之上的正方形也对CZ之之上正方形。 因此也如同AB之上的正方形对AE、EB之上的正方形之和，CD之上的正方形也对CZ、ZD之上的正方形之和；因此交互地，如同AB之上的正方形对CD之上的正方形，AE、EB之上的正方形之和也对 CZ、ZD之上的正方形之和。 而AB之上的正方形与CD之上的正方形共测；因此AE、EB之上的正方形之和也与CZ、ZD之上的正方形之和共测。 而AE、EB之上的正方形之和是有理的；因此CZ、ZD之上的正方形之和也是有理的。
ὁμοίως δὲ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ σύμμετρόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. καί ἐστι μέσον τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροί εἰσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ἅμα ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον·
同样地，由AE、EB所围成的矩形的两倍也与由CZ、ZD所围成的矩形的两倍共测。 而由AE、EB所围成的矩形的两倍是中面；因此由CZ、ZD所围成的矩形的两倍也是中面。 因此CZ、ZD在平方上不共测，它们使得它们之上的正方形之和为有理，而它们的两倍矩形为中面。
ὅλη ἄρα ἡ ΓΔ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.
因此整体CD是被称为大线的无理线。
ἡ ἄρα τῇ μείζονι σύμμετρος μείζων ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
从而与大线共测的线是大线；即所要求证的。