§10.prop2.67ἡ τῇ ἐκ δύο μέσων μήκει σύμμετρος καὶ αὐτὴ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή.
이중항선과 길이에서 통약할 수 있는 직선은 자신도 이중항선이며 차수에서도 같다.
ἔστω ἐκ δύο μέσων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἔστω μήκει ἡ ΓΔ·
AB를 이중항선이라 하고, CD를 AB와 길이에서 통약할 수 있는 선이라 하라.
λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.
ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο μέσων ἐστὶν ἡ ΑΒ, διῃρήσθω εἰς τὰς μέσας κατὰ τὸ Ε·
나는 말한다, CD는 이중항선이며 차수에서도 AB와 같다고. 왜냐하면 AB는 이중항선이므로, E에서 그 중항들로 나누어지게 하라.
αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러므로 AE, EB는 제곱에서만 통약할 수 있는 중항직선들이다.
καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ, ἡ ΑΕ πρὸς ΓΖ·
그리고 AB와 CD의 비가 AE와 CZ의 비와 같게 하라.
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΖΔ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ. σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει·
그러므로 남은 EB와 남은 ZD의 비도 AB와 CD의 비와 같다. 그런데 AB는 CD와 길이에서 통약할 수 있다.
σύμμετρος ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΖ, ΖΔ. μέσαι δὲ αἱ ΑΕ, ΕΒ·
그러므로 AE, EB 각각도 CZ, ZD 각각과 통약할 수 있다. 그리고 AE, EB는 중항직선들이다.
μέσαι ἄρα καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, αἱ δὲ ΑΕ, ΕΒ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν.
그러므로 CZ, ZD도 중항직선들이다. 그리고 AE와 EB의 비는 CZ와 ZD의 비와 같고, AE, EB는 제곱에서만 통약할 수 있으므로, CZ, ZD도 제곱에서만 통약할 수 있다.
ἐδείχθησαν δὲ καὶ μέσαι·
그리고 그것들은 중항직선들이라고 증명되었다.
ἡ ΓΔ ἄρα ἐκ δύο μέσων ἐστίν.
그러므로 CD는 이중항선이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή ἐστι τῇ ΑΒ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ·
이제 그것이 차수에서도 AB와 같다는 것을 말한다. 왜냐하면 AE와 EB의 비는 CZ와 ZD의 비와 같으므로, 그러므로 AE 위의 정사각형과 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형의 비도 CZ 위의 정사각형과 CZ, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형의 비와 같다.
ἐναλλὰξ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ·
교대로, AE 위의 정사각형과 CZ 위의 정사각형의 비는 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형과 CZ, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형의 비와 같다. 그런데 AE 위의 정사각형은 CZ 위의 정사각형과 통약할 수 있다.
σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ. εἴτε οὖν ῥητόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ ῥητόν ἐστιν.
그러므로 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형도 CZ, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 있다. 그러므로 만일 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형이 유리라면, CZ, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형도 유리이다.
εἴτε μέσον, μέσον, καί ἐστιν ἑκατέρα δευτέρα.
만일 중항이라면 중항이며, 각각은 두 번째이다.
καὶ διὰ τοῦτο ἔσται ἡ ΓΔ τῇ ΑΒ τῇ τάξει ἡ αὐτή·
그리고 이 때문에 CD는 차수에서 AB와 같을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§10.prop2.68ἡ τῇ μείζονι σύμμετρος καὶ αὐτὴ μείζων ἐστίν.
대선과 통약할 수 있는 직선은 자신도 대선이다.
ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ·
AB를 대선이라 하고, CD를 AB와 통약할 수 있는 선이라 하라.
λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ μείζων ἐστίν.
나는 말한다, CD는 대선이라고.
διῃρήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Ε·
AB는 E에서 나누어지게 하라.
αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον·
그러므로 AE, EB는 제곱에서 통약할 수 없으며, 그들의 위의 정사각형들의 합을 유리로 만들고, 그들에 의해 둘러싸인 직사각형을 중항으로 만든다.
καὶ γεγονέτω τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον.
그리고 앞의 경우와 같이 작도하라.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἥ τε ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ καὶ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ. σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ. σύμμετρος ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΖ, ΖΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, καὶ συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΖ·
그리고 AB와 CD의 비가 AE와 CZ의 비 및 EB와 ZD의 비와 같으므로, 그러므로 AE와 CZ의 비도 EB와 ZD의 비와 같다. 그런데 AB는 CD와 통약할 수 있다. 그러므로 AE, EB 각각도 CZ, ZD 각각과 통약할 수 있다. 그리고 AE와 CZ의 비가 EB와 ZD의 비와 같으므로, 교대로, AE와 EB의 비는 CZ와 ZD의 비와 같다. 그러므로 합비에 의해서도, AB와 BE의 비는 CD와 DZ의 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ·
그러므로 AB 위의 정사각형과 BE 위의 정사각형의 비도 CD 위의 정사각형과 DZ 위의 정사각형의 비와 같다. 마찬가지로 다시 AB 위의 정사각형과 AE 위의 정사각형의 비도 CD 위의 정사각형과 CZ 위의 정사각형의 비와 같음을 증명할 것이다. 그러므로 AB 위의 정사각형과 AE, EB 위의 정사각형들의 합의 비도 CD 위의 정사각형과 CZ, ZD 위의 정사각형들의 합의 비와 같다.
καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ·
그러므로 교대로, AB 위의 정사각형과 CD 위의 정사각형의 비는 AE, EB 위의 정사각형들의 합과 CZ, ZD 위의 정사각형들의 합의 비와 같다. 그런데 AB 위의 정사각형은 CD 위의 정사각형과 통약할 수 있다.
σύμμετρα ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ ἅμα ῥητόν, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ ἅμα ῥητόν ἐστιν.
그러므로 AE, EB 위의 정사각형들의 합도 CZ, ZD 위의 정사각형들의 합과 통약할 수 있다. 그리고 AE, EB 위의 정사각형들의 합은 유리이다. 그러므로 CZ, ZD 위의 정사각형들의 합도 유리이다.
ὁμοίως δὲ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ σύμμετρόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. καί ἐστι μέσον τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ·
마찬가지로 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배도 CZ, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 통약할 수 있다. 그리고 AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배는 중항이다.
μέσον ἄρα καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ. αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροί εἰσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ἅμα ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον·
그러므로 CZ, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배도 중항이다. 그러므로 CZ, ZD는 제곱에서 통약할 수 없으며, 그들의 위의 정사각형들의 합을 유리로 만들고, 그들의 두 배의 직사각형을 중항으로 만든다.
ὅλη ἄρα ἡ ΓΔ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.
그러므로 전체 CD는 대선이라 불리는 무리직선이다.
ἡ ἄρα τῇ μείζονι σύμμετρος μείζων ἐστίν·
그러므로 대선과 통약할 수 있는 직선은 대선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.