§10.prop2.69ἡ τῇ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένῃ σύμμετρος ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν.
有理面積と中項面積の和の側辺と通約可能な直線は、自身も有理面積と中項面積の和の側辺である。
ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ·
ABを有理面積と中項面積の和の側辺とし、CDをABと通約可能とせよ。
δεικτέον, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν.
示すべきは、CDもまた有理面積と中項面積の和の側辺であることである。
διῃρήσθω ἡ ΑΒ εἰς τὰς εὐθείας κατὰ τὸ Ε· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν·
ABはEにおいて諸直線に分けられているとし、したがってAE, EBは平方において通約不能であり、それらの上の正方形の和を中項にし、かつそれらによって囲まれる長方形を有理にする。
καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω τοῖς πρότερον.
そして、これより前のものと同様に作図せよ。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, καὶ σύμμετρον τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ ΓΖ, ΖΔ·
同様に我々は、CZ, ZDも平方において通約不能であり、かつAE, EB上の正方形の和がCZ, ZD上の正方形の和と通約可能であり、AE, EBによって囲まれる長方形が CZ, ZDによって囲まれる長方形と通約可能であることを示すであろう。
ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων ἐστὶ μέσον, τὸ δʼ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ ῥητόν.
したがって、CZ, ZD上の正方形の和も中項であり、CZ, ZDによって囲まれる長方形も有理である。
ῥητὸν ἄρα καὶ μέσον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΓΔ·
したがって、CDは有理面積と中項面積の和の側辺である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop2.70ἡ τῇ δύο μέσα δυναμένῃ σύμμετρος δύο μέσα δυναμένη ἐστίν.
二つの中項面積の和の側辺と通約可能な直線は、自身も二つの中項面積の和の側辺である。
ἔστω δύο μέσα δυναμένη ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἡ ΓΔ·
ABを二つの中項面積の和の側辺とし、CDをABと通約可能とせよ。
δεικτέον, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν.
示すべきは、CDも二つの中項面積の和の側辺であることである。
ʼἐπεὶ γὰρ δύο μέσα δυναμένη ἐστὶν ἡ ΑΒ, διῃρήσθω εἰς τὰς εὐθείας κατὰ τὸ Ε· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ·
なぜなら、ABは二つの中項面積の和の側辺であるので、Eにおいて諸直線に分けられているとし、したがってAE, EBは平方において通約不能であり、それらの上の正方形の和を中項に、それらによって囲まれる長方形を中項にし、さらにAE, EB上の正方形の和と、AE, EBによって囲まれる長方形とを通約不能にする。
καὶ κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον.
そして、これより前のものと同様に作図せよ。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι καὶ σύμμετρον τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ·
同様に我々は、CZ, ZDも平方において通約不能であり、かつAE, EB上の正方形の和が CZ, ZD上の正方形の和と通約可能であり、AE, EBによって囲まれる長方形がCZ, ZDによって囲まれる長方形と通約可能であることを示すであろう。
ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων μέσον ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ.
ἡ ἄρα ΓΔ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν·
したがって、CZ, ZD上の正方形の和も中項であり、CZ, ZDによって囲まれる長方形も中項であり、さらにCZ, ZD上の正方形の和と CZ, ZDによって囲まれる長方形とは通約不能である。 したがって、CDは二つの中項面積の和の側辺である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。