§10.prop2.56ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων δευτέρα.
もし面積が有理直線と第三二名直線によって囲まれているならば、その面積を平方する直線は無理直線であり、第二二中項線と呼ばれるものである。
χωρίον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὧν μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΕ·
なぜなら、面積ABCDが有理直線 ABと第三二名直線ADによって囲まれているとせよ。 そしてADはEにおいて名に分けられ、それらのうち大きい方をAEとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων δευτέρα.
私は言う、面積ACを平方する直線は無理直線であり、第二二中項線と呼ばれるものであると。
Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον.
なぜなら、前と同じように準備せよ。
καὶ ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη ἡ ΑΔ, αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΔ σύμμετρός τῇ ΑΒ μήκει.
そして ADは第三二名直線であるので、したがってAE, EDは平方においてのみ通約可能な有理直線であり、AEはEDより自身と長さにおいて通約可能な直線による平方だけ勝り、AE, EDのどちらもABと長さにおいて通約不能である。
ὁμοίως δὴ τοῖς προδεδειγμένοις δείξομεν, ὅτι ἡ ΜΞ ἐστιν ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη, καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι·
そこで、前に示されたことと同様にして、MXが面積ACを平方するものであり、MN, NXは平方においてのみ通約可能な中項であることを示す。
ὥστε ἡ ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστίν.
したがって、MXは二つの中項から成る直線である。
δεικτέον δή, ὅτι καὶ δευτέρα.
そこで、それが第二のものであることも示すべきである。
ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει, τουτέστι τῇ ΕΚ, σύμμετρος δὲ ἡ ΔΕ τῇ ΕΖ, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ μήκει.
DEはABと長さにおいて通約不能、すなわちEKと通約不能であるが、DEはEZと通約可能であるので、したがって EZはEKと長さにおいて通約不能である。
καί εἰσι ῥηταί·
そしてそれらは有理である。
αἱ ΖΕ, ΕΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
したがってZE, EKは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
μέσον ἄρα τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ·
したがってELは中項であり、すなわちMPもそうである。
καὶ περιέχεται ὑπὸ τῶν ΜΝΞ·
そしてそれはMN, NXによって囲まれている。
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ.
ἡ ΜΞ ἄρα ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα·
したがって、MN, NXによって囲まれる面積は中項である。 したがって、MXは第二二中項線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop2.57ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.
もし面積が有理直線と第四二名直線によって囲まれているならば、その面積を平方する直線は無理直線であり、最大線と呼ばれるものである。
χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὧν μεῖζον ἔστω τὸ ΑΕ·
なぜなら、面積ACが有理直線AB と第四二名直線ADによって囲まれているとせよ。 そしてADはEにおいて名に分けられ、それらのうち大きい方をAEとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.
私は言う、面積ACを平方する直線は無理直線であり、最大線と呼ばれるものであると。
ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη, αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ σύμμετρός μήκει.
なぜなら、ADは第四二名直線であるので、したがって AE, EDは平方においてのみ通約可能な有理直線であり、AEはEDより自身と長さにおいて通約不能な直線による平方だけ勝り、AEはABと長さにおいて通約可能である。
τετμήσθω ἡ ΔΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΕ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΗΕ·
今や、DEがZにおいて二等分され、EZの上の正方形に等しい平行四辺形が、 AEに沿って適用され、それをAH, HEによって囲まれるものとせよ。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει.
したがって、AHはHEと長さにおいて通約不能である。
ἤχθωσαν παράλληλοι τῇ ΑΒ αἱ ΗΘ, ΕΚ, ΖΛ, καὶ τὰ λοιπὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρὸ τούτου γεγονέτω·
そして、ABに平行な直線HT, EK, ZLが引かれ、その他のこともこの前のことと同様にせよ。
φανερὸν δή, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ. δεικτέον δή, ὅτι ἡ ΜΞ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.
したがって、面積ACを平方するものはMXであることは明らかである。 そこで、MXは最大線と呼ばれる無理直線であることを示すべきである。
ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ μήκει, ἀσύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΗΚ, τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΝΠ·
AHはEHと長さにおいて通約不能であるので、 ATもHKと通約不能であり、すなわちSNはNPと通約不能である。
αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι.
したがって、MN, NXは平方において通約不能である。
καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ μήκει, ῥητόν ἐστι τὸ ΑΚ·
そして、AEはABと長さにおいて通約可能であるので、AKは有理である。
καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ·
そして、それはMN, NXの上の正方形の和に等しい。
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει, τουτέστι τῇ ΕΚ, ἀλλὰ ἡ ΔΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ΕΖ, ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ μήκει.
したがって、 MN, NXの上の正方形の和も有理である。 そして、DEはABと長さにおいて通約不能、すなわちEKと通約不能であるが、DEはEZと通約可能であるので、したがってEZはEKと長さにおいて通約不能である。
αἱ ΕΚ, ΕΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがってEK, EZは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
μέσον ἄρα τὸ ΛΕ, τουτέστι τὸ ΜΡ. καὶ περιέχεται ὑπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ·
したがってLEは中項であり、すなわちMPもそうである。 そしてそれはMN, NXによって囲まれている。
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. καὶ ῥητὸν τὸ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ, καί εἰσιν ἀσύμμετροι αἱ ΜΝ, ΝΞ δυνάμει.
したがって、MN, NXによって囲まれる面積は中項である。 そして、MN, NXの上の正方形の和は有理であり、MN, NXは平方において通約不能である。
ἐὰν δὲ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλεῖται δὲ μείζων.
もし、平方において通約不能な二つの直線が合わされて、それらの上の正方形の和を有理に、それらによって囲まれる長方形を中項にするならば、全体は無理であり、最大線と呼ばれる。
ἡ ΜΞ ἄρα ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων, καὶ δύναται τὸ ΑΓ χωρίον·
したがって、MXは最大線と呼ばれる無理直線であり、面積ACを平方するものである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。