§10.prop2.56ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων δευτέρα.
若一面积由一有理线与第三二项线所围成，则该面积的方根是一条无理线，即第二双中项线。
χωρίον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὧν μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΕ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων δευτέρα.
因为面积ABCD由有理线 AB及第三二项线AD所围成，设AD在E处被分成两个项，其中较长的一项为AE；我说，面积AC的方根是一条无理线，即第二双中项线。
Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον.
因为设作与前面相同的图形。
καὶ ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη ἡ ΑΔ, αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΔ σύμμετρός τῇ ΑΒ μήκει.
又因为 AD是第三二项线，所以AE、ED是仅在平方上共测的有理线，且AE平方大于ED，其相差是与它自身在长度上共测的线之上的正方形，且AE、ED中没有一个在长度上与AB共测。
ὁμοίως δὴ τοῖς προδεδειγμένοις δείξομεν, ὅτι ἡ ΜΞ ἐστιν ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη, καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι· ὥστε ἡ ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστίν.
因此，类似于前面已证明的，我们将证明MX是面积AC的方根，且MN、NX是仅在平方上共测的中线；所以MX是一条双中项线。
δεικτέον δή, ὅτι καὶ δευτέρα.
现在必须证明，它也是第二双中项线。
ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει, τουτέστι τῇ ΕΚ, σύμμετρος δὲ ἡ ΔΕ τῇ ΕΖ, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ μήκει.
因为DE在长度上与AB不共测，即与EK不共测，而DE与EZ共测，所以 EZ在长度上与EK不共测。
καί εἰσι ῥηταί· αἱ ΖΕ, ΕΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
且它们是有理的；因此ZE、EK是仅在平方上共测的有理线。
μέσον ἄρα τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ· καὶ περιέχεται ὑπὸ τῶν ΜΝΞ· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ.
ἡ ΜΞ ἄρα ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα·
所以EL，即MP，是中面积；且它由MN、NX所围成；因此，由MN、NX所围成的矩形是中面积。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，MX是第二双中项线；即所要求证的。
§10.prop2.57ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.
若一面积由一有理线与第四二项线所围成，则该面积的方根是一条无理线，即最大线。
χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὧν μεῖζον ἔστω τὸ ΑΕ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.
因为面积AC由有理线AB 及第四二项线AD所围成，设AD在E处被分成两个项，其中较长的一项为AE；我说，面积AC的方根是一条无理线，即最大线。
ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη, αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ σύμμετρός μήκει.
因为AD是第四二项线，所以 AE、ED是仅在平方上共测的有理线，且AE平方大于ED，其相差是与它自身在长度上不共测的线之上的正方形，且AE在长度上与AB共测。
τετμήσθω ἡ ΔΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΕ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΗΕ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει.
设DE在Z处被二等分，且将等于EZ之上的正方形，沿AE贴合，设该平行四边形为由AH、HE所围成的矩形；所以AH在长度上与HE不共测。
ἤχθωσαν παράλληλοι τῇ ΑΒ αἱ ΗΘ, ΕΚ, ΖΛ, καὶ τὰ λοιπὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρὸ τούτου γεγονέτω·
设HT、EK、ZL平行于AB引出，且其余的作图与前面相同。
φανερὸν δή, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ. δεικτέον δή, ὅτι ἡ ΜΞ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.
于是显然，面积AC的方根是MX。 现在必须证明，MX是被称为最大线的无理线。
ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ μήκει, ἀσύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΗΚ, τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΝΠ· αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι.
因为 AH在长度上与EH不共测，所以AT也与HK不共测，即SN与NP不共测；因此，MN、NX在平方上不共测。
καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ μήκει, ῥητόν ἐστι τὸ ΑΚ·
又因为AE在长度上与AB共测，所以AK是有理的。
καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει, τουτέστι τῇ ΕΚ, ἀλλὰ ἡ ΔΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ΕΖ, ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ μήκει.
且它等于MN、NX之上的正方形之和；所以 MN、NX之上的正方形之和也是有理的。 又因为DE在长度上与AB不共测，即与EK不共测，而DE与EZ共测，所以EZ在长度上与EK不共测。
αἱ ΕΚ, ΕΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· μέσον ἄρα τὸ ΛΕ, τουτέστι τὸ ΜΡ. καὶ περιέχεται ὑπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. καὶ ῥητὸν τὸ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ, καί εἰσιν ἀσύμμετροι αἱ ΜΝ, ΝΞ δυνάμει.
因此EK、EZ是仅在平方上共测的有理线；所以LE，即MP，是中面积。 且它由MN、NX所围成；因此，由MN、NX所围成的矩形是中面积。 而且MN、NX之上正方形之和是有理的，且MN、NX在平方上不共测。
ἐὰν δὲ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλεῖται δὲ μείζων.
若两条在平方上不共测的线相加，使得它们之上的正方形之和为有理的，而由它们所围成的矩形为中面积，则整体是一条无理线，被称为最大线。
ἡ ΜΞ ἄρα ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων, καὶ δύναται τὸ ΑΓ χωρίον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，MX是被称为最大线的无理线，且它是面积AC的方根；即所要求证的。