§10.prop2.56ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων δευτέρα.
만약 넓이가 유리직선과 세 번째 이항선에 의해 둘러싸여 있다면, 그 넓이를 제곱하는 직선은 무리직선이며 두 번째 이중중항선이라 불리는 것이다.
χωρίον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὧν μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΕ·
왜냐하면 넓이 ABCD가 유리직선 AB와 세 번째 이항선 AD에 의해 둘러싸여 있다고 하라. 그리고 AD는 E에서 항들로 나누어지게 하고, 그들 중 더 큰 것을 AE라고 하라.
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων δευτέρα.
나는 말한다, 넓이 AC를 제곱하는 직선은 무리직선이며 두 번째 이중중항선이라 불리는 것이라고.
Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον.
왜냐하면 앞과 같은 작도를 하라.
καὶ ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη ἡ ΑΔ, αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΔ σύμμετρός τῇ ΑΒ μήκει.
그리고 AD는 세 번째 이항선이므로, 그러므로 AE, ED는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이며, AE는 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 ED보다 제곱에서 더 크고, AE, ED 중 어느 것도 AB와 길이에서 통약할 수 없다.
ὁμοίως δὴ τοῖς προδεδειγμένοις δείξομεν, ὅτι ἡ ΜΞ ἐστιν ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη, καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι·
이제, 앞에서 증명된 바와 같이, MX가 넓이 AC를 제곱하는 것이고, MN, NX는 제곱에서만 통약할 수 있는 중항직선들임을 보일 것이다.
ὥστε ἡ ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστίν.
따라서 MX는 이중중항선이다.
δεικτέον δή, ὅτι καὶ δευτέρα.
이제 그것이 두 번째 이중중항선임도 보여야 한다.
ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει, τουτέστι τῇ ΕΚ, σύμμετρος δὲ ἡ ΔΕ τῇ ΕΖ, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ μήκει.
DE는 AB와 길이에서 통약할 수 없는데, 즉 EK와 통약할 수 없는데, DE는 EZ와 통약할 수 있으므로, 그러므로 EZ는 EK와 길이에서 통약할 수 없다.
καί εἰσι ῥηταί·
그리고 그것들은 유리직선들이다.
αἱ ΖΕ, ΕΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러므로 ZE, EK는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이다.
μέσον ἄρα τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ·
그러므로 EL, 즉 MP는 중항넓이이다.
καὶ περιέχεται ὑπὸ τῶν ΜΝΞ·
그리고 그것은 MN, NX에 의해 둘러싸여 있다.
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ.
ἡ ΜΞ ἄρα ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα·
그러므로 MN, NX에 의해 둘러싸인 직사각형은 중항넓이이다. 그러므로 MX는 두 번째 이중중항선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§10.prop2.57ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.
만약 넓이가 유리직선과 네 번째 이항선에 의해 둘러싸여 있다면, 그 넓이를 제곱하는 직선은 무리직선이며 최대선이라 불리는 것이다.
χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὧν μεῖζον ἔστω τὸ ΑΕ·
왜냐하면 넓이 AC가 유리직선 AB 와 네 번째 이항선 AD에 의해 둘러싸여 있다고 하라. 그리고 AD는 E에서 항들로 나누어지게 하고, 그들 중 더 큰 것을 AE라고 하라.
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.
나는 말한다, 넓이 AC를 제곱하는 직선은 무리직선이며 최대선이라 불리는 것이라고.
ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη, αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ σύμμετρός μήκει.
왜냐하면 AD는 네 번째 이항선이므로, 그러므로 AE, ED는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이며, AE는 자신과 길이에서 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 ED보다 제곱에서 더 크고, AE는 AB와 길이에서 통약할 수 있다.
τετμήσθω ἡ ΔΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΕ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΗΕ·
이제 DE가 Z에서 이등분되게 하고, EZ 위의 정사각형과 같은 평행사변형이 AE에 따라 적용되게 하며, 그것을 AH, HE에 의해 둘러싸인 것이라 하라.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει.
그러므로 AH는 HE와 길이에서 통약할 수 없다.
ἤχθωσαν παράλληλοι τῇ ΑΒ αἱ ΗΘ, ΕΚ, ΖΛ, καὶ τὰ λοιπὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρὸ τούτου γεγονέτω·
그리고 AB와 평행한 직선들 HT, EK, ZL이 그어지게 하고, 나머지는 이 전의 것과 같이 되게 하라.
φανερὸν δή, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ. δεικτέον δή, ὅτι ἡ ΜΞ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.
그러므로 넓이 AC를 제곱하는 것은 MX임이 분명하다. 이제 MX가 최대선이라 불리는 무리직선임을 보여야 한다.
ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ μήκει, ἀσύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΗΚ, τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΝΠ·
AH는 EH와 길이에서 통약할 수 없으므로, AT도 HK와 통약할 수 없고, 즉 SN은 NP와 통약할 수 없다.
αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι.
그러므로 MN, NX는 제곱에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ μήκει, ῥητόν ἐστι τὸ ΑΚ·
그리고 AE는 AB와 길이에서 통약할 수 있으므로, AK는 유리이다.
καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ·
그리고 그것은 MN, NX 위의 정사각형들의 합과 같다. 그러므로 MN, NX 위의 정사각형들의 합도 유리이다.
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει, τουτέστι τῇ ΕΚ, ἀλλὰ ἡ ΔΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ΕΖ, ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ μήκει.
그리고 DE는 AB와 길이에서 통약할 수 없는데, 즉 EK와 통약할 수 없는데, DE는 EZ와 통약할 수 있으므로, 그러므로 EZ는 EK와 길이에서 통약할 수 없다.
αἱ ΕΚ, ΕΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 EK, EZ는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이다.
μέσον ἄρα τὸ ΛΕ, τουτέστι τὸ ΜΡ. καὶ περιέχεται ὑπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ·
그러므로 LE, 즉 MP는 중항넓이이다. 그리고 그것은 MN, NX에 의해 둘러싸여 있다.
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. καὶ ῥητὸν τὸ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ, καί εἰσιν ἀσύμμετροι αἱ ΜΝ, ΝΞ δυνάμει.
그러므로 MN, NX에 의해 둘러싸인 직사각형은 중항넓이이다. 그리고 MN, NX 위의 정사각형들의 합은 유리이며, MN, NX는 제곱에서 통약할 수 없다.
ἐὰν δὲ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν μέσον, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλεῖται δὲ μείζων.
만약 제곱에서 통약할 수 없는 두 직선이 합해져서 그들 위의 정사각형들의 합을 유리로 만들고 그들에 의해 둘러싸인 직사각형을 중항넓이로 만든다면, 전체는 무리직선이며 최대선이라 불린다.
ἡ ΜΞ ἄρα ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων, καὶ δύναται τὸ ΑΓ χωρίον·
그러므로 MX는 최대선이라 불리는 무리직선이며, 넓이 AC를 제곱하는 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.