§10.prop2.55ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρας, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων πρώτη.
もし面積が有理直線と第二二名直線によって囲まれているならば、その面積を平方する直線は無理直線であり、第一二中項線と呼ばれるものである。
περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ΑΒΓΔ ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρας τῆς ΑΔ·
なぜなら、面積ABCDが有理直線 ABと第二二名直線ADによって囲まれているとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων πρώτη ἐστίν.
私は言う、面積ACを平方する直線は第一二中項線であると。
ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρα ἐστὶν ἡ ΑΔ, διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ·
なぜなら、ADは第二二名直線であるので、Eにおいて名に分けられ、より大きい方の名をAEとせよ。
αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τὸ ἔλαττον ὄνομα ἡ ΕΔ σύμμετρόν ἐστι τῇ ΑΒ μήκει.
したがって、AE, EDは平方においてのみ通約可能な有理直線であり、AEはEDより自身と長さにおいて通約可能な直線による平方だけ勝り、より小さい方の名EDはABと長さにおいて通約可能である。
τετμήσθω ἡ ΕΔ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΕ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗΕ·
今や、EDが点Zにおいて二等分され、EZの上の正方形に等しいものが、AEに沿って、正方形の形で不足するように適用され、それをAH, HEによって囲まれる長方形とせよ。
σύμμετρος ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει.
したがって、AHはHEと長さにおいて通約可能である。
καὶ διὰ τῶν Η, Ε, Ζ παράλληλοι ἤχθωσαν ταῖς ΑΒ, ΓΔ αἱ ΗΘ, ΕΚ, ΖΛ, καὶ τῷ μὲν ΑΘ παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον συνεστάτω τὸ ΣΝ, τῷ δὲ ΗΚ ἴσον τετράγωνον τὸ ΝΠ, καὶ κείσθω ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΜΝ τῇ ΝΞ·
そして、H, E, Zを通って、AB, CDに平行な直線HT, EK, ZLが引かれ、平行四辺形ATに等しい正方形SNが作られ、HKに等しい正方形 NPが作られ、MNがNXと一直線上にあるように配置せよ。
ἐπʼ εὐθείας ἄρα καὶ ἡ ΡΝ τῇ ΝΟ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΣΠ τετράγωνον·
したがって、RNもNOと一直線上にある。 そして、正方形SPが完成されよ。
φανερὸν δὴ ἐκ τοῦ προδεδειγμένου, ὅτι τὸ ΜΡ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τῶν ΣΝ, ΝΠ, καὶ ἴσον τῷ ΕΛ, καὶ ὅτι τὸ ΑΓ χωρίον δύναται ἡ ΜΞ. δεικτέον δή, ὅτι ἡ ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη.
前に示されたことから、MPはSN, NPの比例中項であり、ELに等しく、面積ACを平方するものはMXであることは明らかである。 そこで、MXは第一二中項線であることを示すべきである。
ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει, σύμμετρος δὲ ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ, ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ, σύμμετρός ἐστι καὶ ἡ ΑΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΗ, ΗΕ. ἀλλὰ ἡ ΑΕ ἀσύμμετρος τῇ ΑΒ μήκει·
AEはEDと長さにおいて通約不能であるが、EDはABと通約可能であるので、したがって、AEはABと通約不能である。 そして、AHはEHと通約可能であるので、AEもAH, HEのそれぞれと通約可能である。 しかし、AEは ABと長さにおいて通約不能である。
καὶ αἱ ΑΗ, ΗΕ ἄρα ἀσύμμετροί εἰσι τῇ ΑΒ. αἱ ΒΑ, ΑΗ, ΗΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、AH, HEもABと通約不能である。 したがって、BA, AH, HEは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ὥστε μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΘ, ΗΚ. ὥστε καὶ ἑκάτερον τῶν ΣΝ, ΝΠ μέσον ἐστίν.
それゆえ、AT, HKのそれぞれは中項である。 それゆえ、SN, NPのそれぞれも中項である。
καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα μέσαι εἰσίν.
したがって、MN, NXも中項である。
καὶ ἐπεὶ σύμμετρος ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΗΚ, τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΝΠ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΞ.
そして、AHは HEと長さにおいて通約可能であるので、ATもHKと通約可能である。 すなわち、SNはNPと、すなわち、MNの上の正方形はNXの上の正方形と通約可能である。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει, ἀλλʼ ἡ μὲν ΑΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΗ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΖ σύμμετρος, ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΕΖ·
そして、AEはEDと長さにおいて通約不能であるが、AEはAHと通約可能であり、EDはEZと通約可能であるので、したがって、AHもEZと通約不能である。
ὥστε καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν, τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΜΡ, τουτέστιν ἡ ΟΝ τῇ ΝΡ, τουτέστιν ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει.
それゆえ、ATもELと通約不能であり、すなわち、SNはMPと、すなわち、ONはNPと、すなわち、MNはNXと長さにおいて通約不能である。
ἐδείχθησαν δὲ αἱ ΜΝ, ΝΞ καὶ μέσαι οὖσαι καὶ δυνάμει σύμμετροι·
しかし、MN, NXは中項であり、かつ平方において通約可能であることも示された。
αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.
したがって、MN, NXは平方においてのみ通約可能な中項である。
λέγω δή, ὅτι καὶ ῥητὸν περιέχουσιν.
そこで、私はそれらは有理の面積を囲むと言う。
ἐπεὶ γὰρ ἡ ΔΕ ὑπόκειται ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ σύμμετρος, σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ. καὶ ῥητὴ ἑκατέρα αὐτῶν·
なぜなら、DEはAB, EZのそれぞれと通約可能であると仮定されているので、したがって、EZもEKと通約可能である。 そして、それらのそれぞれは有理である。
ῥητὸν ἄρα τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ·
したがって、ELは有理である、すなわち、MPは有理である。
τὸ δὲ ΜΡ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ. ἐὰν δὲ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι ῥητὸν περιέχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλεῖται δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη.
そして、MPはMN, NXによって囲まれる長方形である。 もし、平方においてのみ通約可能で有理の面積を囲む二つの中項が合わされるならば、全体は無理であり、第一二中項線と呼ばれる。
ἡ ἄρα ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη·
したがって、MXは第一二中項線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。