§10.prop2.58ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.
もし面積が有理直線と第五二名直線によって囲まれているならば、その面積を平方する直線は無理直線であり、有理と中項を平方する直線と呼ばれるものである。
χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ·
なぜなら、面積ACが有理直線AB と第五二名直線ADによって囲まれているとせよ。 そしてADはEにおいて名に分けられ、それらのうち大きい方の名がAEであるとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.
私は言う、面積ACを平方する直線は無理直線であり、有理と中項を平方する直線と呼ばれるものであると。
Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον δεδειγμένοις·
なぜなら、前に示されたことと同様に準備せよ。
φανερὸν δή, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ. δεικτέον δή, ὅτι ἡ ΜΞ ἐστιν ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.
したがって、面積ACを平方するものがMXであることは明らかである。 そこで、MXは有理と中項を平方する直線であることを示すべきである。
ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΘΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΞ·
なぜなら、AHはHEと通約不能であるので、したがってATもTEと通約不能であり、すなわちMNの上の正方形はNXの上の正方形と通約不能である。
αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι.
したがって、MN, NXは平方において通約不能である。
καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη, καί ἔλασσον αὐτῆς τμῆμα τὸ ΕΔ, σύμμετρος ἄρα ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ μήκει.
そして、ADは第五二名直線であり、そのうちのより小さい方の線分はEDであるので、したがってEDはABと長さにおいて通約可能である。
ἀλλὰ ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ ἐστιν ἀσύμμετρος·
しかし、AEはEDと通約不能である。
καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῇ ΑΕ ἐστιν ἀσύμμετρος μήκει.
したがってABもAEと長さにおいて通約不能である。
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ, τουτέστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει, τουτέστι τῇ ΕΚ, ἀλλὰ ἡ ΔΕ τῇ ΕΖ σύμμετρός ἐστιν, καὶ ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΕΚ σύμμετρός ἐστιν.
したがってAKは中項であり、すなわちMN, NXの上の正方形の和も中項である。 そして、DEはABと長さにおいて通約可能、すなわちEKと通約可能であるが、DEはEZと通約可能であるので、したがってEZもEKと通約可能である。
καὶ ῥητὴ ἡ ΕΚ·
そしてEKは有理である。
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΜΝΞ·
したがってELも有理であり、すなわちMPもそうであり、すなわちMN, NXによって囲まれる面積もそうである。
αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροί εἰσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν.
したがって、MN, NXは平方において通約不能であり、それらの上の正方形の和を中項に、それらによって囲まれる長方形を有理にする。
ἡ ΜΞ ἄρα ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστὶ καὶ δύναται τὸ ΑΓ χωρίον·
したがって、MXは有理と中項を平方する直線であり、面積ACを平方するものである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop2.59ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη δύο μέσα δυναμένη.
もし面積が有理直線と第六二名直線によって囲まれているならば、その面積を平方する直線は無理直線であり、二つの中項を平方する直線と呼ばれるものである。
χωρίον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ·
なぜなら、面積ABCDが有理直線AB と第六二名直線ADによって囲まれているとせよ。 そしてADはEにおいて名に分けられ、それらのうち大きい方の名がAEであるとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ δυναμένη ἡ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν.
私は言う、面積ACを平方するものは二つの中項を平方する直線であると。
Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς προδεδειγμένοις.
前に示されたことと同様に準備せよ。
φανερὸν δή, ὅτι τὸ ΑΓ δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ, καὶ ὅτι ἀσύμμετρός ἐστι ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ δυνάμει.
したがって、面積ACを平方するものはMXであり、かつMNはNXと平方において通約不能であることは明らかである。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ μήκει, αἱ ΕΑ, ΑΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
そして、EAはABと長さにおいて通約不能であるので、したがってEA, ABは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ, τουτέστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ μήκει, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΕ τῇ ΕΚ·
したがってAKは中項であり、すなわちMN, NXの上の正方形の和も中項である。 次に、EDはABと長さにおいて通約不能であるので、したがってZEもEKと通約不能である。
αἱ ΖΕ, ΕΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがってZE, EKは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρος ἡ ΑΕ τῇ ΕΖ, καὶ τὸ ΑΚ τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
したがってELは中項であり、すなわちMPもそうであり、すなわちMN, NXによって囲まれる面積もそうである。 そして、AEはEZと通約不能であるので、AKもELと通約不能である。
ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΚ ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ, τὸ δὲ ΕΛ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ·
しかし、AKはMN, NXの上の正方形の和であり、ELはMN, NXによって囲まれる面積である。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝΞ τῷ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ. καί ἐστι μέσον ἑκάτερον αὐτῶν, καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι.
したがって、MN, NXの上の正方形の和は、MN, NXによって囲まれる面積と通約不能である。 そしてそれらの各々は中項であり、MN, NXは平方において通約不能である。
ἡ ΜΞ ἄρα δύο μέσα δυναμένη ἐστὶ καὶ δύναται τὸ ΑΓ·
したがって、MXは二つの中項を平方する直線であり、面積ACを平方するものである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。