§10.prop1.4τριῶν μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
与えられた三つの通約可能な大きさの最大公度を見出すこと。
ἔστω τὰ δοθέντα τρία μεγέθη σύμμετρα τὰ Α, Β, Γ·
与えられた三つの通約可能な大きさを Α, Β, Γ とせよ。
δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
そこで、Α, Β, Γ の最大公度を見出さねばならない。
εἰλήφθω γὰρ δύο τῶν Α, Β τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον, καὶ ἔστω τὸ Δ·
なぜなら、Α, Β のうちの二つの最大公度が取られたとし、それを Δ とせよ。
τὸ δὴ Δ τὸ Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὔ.
そこで Δ は Γ を測定するか、あるいは測定しない。
μετρείτω πρότερον.
まず測定するとせよ。
ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὸ Γ μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ τὰ Α, Β, τὸ Δ ἄρα τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ·
そこで、Δ は Γ を測定し、かつ Α, Β も測定するので、したがって Δ は Α, Β, Γ を測定する。
τὸ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινὸν μέτρον ἐστίν.
したがって Δ は Α, Β, Γ の公度である。
καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον·
そして、それが最大であることも明らかである。
μεῖζον γὰρ τοῦ Δ μεγέθους τὰ Α, Β οὐ μετρεῖ.
なぜなら、大きさ Δ より大きいものは Α, Β を測定しないからである。
μὴ μετρείτω δὴ τὸ Δ τὸ Γ. λέγω πρῶτον, ὅτι σύμμετρά ἐστι τὰ Γ, Δ. ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β, Γ, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος, ὃ δηλαδὴ καὶ τὰ Α, Β μετρήσει·
そこで、Δ は Γ を測定しないとせよ。 私はまず、Γ, Δ は通約可能であると言う。 なぜなら、Α, Β, Γ は通約可能であるので、ある大きさがそれらを測定するであろうが、それは言うまでもなく Α, Β も測定するであろう。
ὥστε καὶ τὸ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον τὸ Δ μετρήσει.
したがって、それは Α, Β の最大公度である Δ も測定するであろう。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ·
しかしそれは Γ も測定する。
ὥστε τὸ εἰρημένον μέγεθος μετρήσει τὰ Γ, Δ·
したがって、述べられた大きさは Γ, Δ を測定するであろう。
σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ Γ, Δ. εἰλήφθω οὖν αὐτῶν τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον, καὶ ἔστω τὸ Ε. ἐπεὶ οὖν τὸ Ε τὸ Δ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ Δ τὰ Α, Β μετρεῖ, καὶ τὸ Ε ἄρα τὰ Α, Β μετρήσει.
したがって Γ, Δ は通約可能である。 そこで、それらの最大公度が取られたとし、それを Ε とせよ。 そこで、Ε は Δ を測定するが、Δ は Α, Β を測定するので、したがって Ε も Α, Β を測定するであろう。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ. τὸ Ε ἄρα τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ·
しかしそれは Γ も測定する。 したがって Ε は Α, Β, Γ を測定する。
τὸ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινόν ἐστι μέτρον.
したがって Ε は Α, Β, Γ の公度である。
λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον.
そこで、私はそれが最大でもあると言う。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τι τοῦ Ε μεῖζον μέγεθος τὸ Ζ, καὶ μετρείτω τὰ Α, Β, Γ. καὶ ἐπεὶ τὸ Ζ τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τὰ Α, Β ἄρα μετρήσει καὶ τὸ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει.
なぜなら、もし可能ならば、Ε より大きい、ある大きさ Ζ が存在して、Α, Β, Γ を測定するとせよ。 そして、Ζ は Α, Β, Γ を測定するので、したがって Α, Β も測定するであろうし、Α, Β の最大公度をも測定するであろう。
τὸ δὲ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶ τὸ Δ·
しかし、Α, Β の最大公度は Δ である。
τὸ Ζ ἄρα τὸ Δ μετρεῖ.
したがって Ζ は Δ を測定する。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ·
しかしそれは Γ も測定する。
τὸ Ζ ἄρα τὰ Γ, Δ μετρεῖ·
したがって Ζ は Γ, Δ を測定する。
καὶ τὸ τῶν Γ, Δ ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει τὸ Ζ. ἔστι δὲ τὸ ε·
したがってそれは Γ, Δ の最大公度をも測定するであろう。 しかしそれは Ε である。
τὸ Ζ ἄρα τὸ Ε μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον·
したがって Ζ は Ε を測定することになり、大きいものが小さいものを測定することになる。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα μεῖζόν τι τοῦ Ε μεγέθους τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ·
したがって、大きさ Ε より大きいものは何も Α, Β, Γ を測定しない。
τὸ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστίν, ἐὰν μὴ μετρῇ τὸ Δ τὸ Γ, ἐὰν δὲ μετρῇ, αὐτὸ τὸ Δ.
τριῶν ἄρα μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ηὕρηται.
したがって、Ε は、もし Δ が Γ を測定しないならば、Α, Β, Γ の最大公度であり、もし測定するならば、Δ 自体がそれである。 したがって、与えられた三つの通約可能な大きさの最大公度が見出された。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν μέγεθος τρία μεγέθη μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει.
系このことから、もしある大きさが三つの大きさを測定するならば、それはそれらの最大公度をも測定することが明らかである。
ὁμοίως δὴ καὶ ἐπὶ πλειόνων τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ληφθήσεται, καὶ τὸ πόρισμα προχωρήσει.
そこで、より多くの大きさに対しても同様に最大公度は得られるであろうし、系も成り立つであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。