§10.prop1.32εὑρεῖν δύο μέσας δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
中項の面積を囲む、平方においてのみ通約可能である２つの中項直線を見出すこと。 ただし、大きい方の直線が、小さい方の直線よりも、自身と長さにおいて通約可能な直線の上の正方形分だけ、より大きく二乗できるように。
Ἐκκείσθωσαν τρεῖς ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ α, Β, Γ, ὥστε τὴν Α τῆς Γ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Δ. μέσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Δ·
平方においてのみ通約可能な３つの有理直線 Α, Β, Γ が設定されるものとせよ。 ただし、Α が Γ よりも、自身と長さにおいて通約可能な直線の上の正方形分だけ、より大きく二乗できるように。 そして、Α, Β によって囲まれる矩形に等しいものが、Δ の上の正方形であるとせよ。 したがって Δ の上の正方形は中項である。
καὶ ἡ Δ ἄρα μέση ἐστίν.
ゆえに Δ も中項直線である。
τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ, οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Δ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε·
そして、Β, Γ によって囲まれる矩形に等しいものが、 Δ, Ε によって囲まれる矩形であるとせよ。 そして、Α, Β によって囲まれる矩形と Β, Γ によって囲まれる矩形の比は、Α と Γ の比と同じであり、かつ、Α, Β によって囲まれる矩形には Δ の上の正方形が等しく、Β, Γ によって囲まれる矩形には Δ, Ε によって囲まれる矩形が等しいから、したがって、Α と Γ の比は、 Δ の上の正方形と Δ, Ε によって囲まれる矩形の比と同じである。 ところで、Δ の上の正方形と Δ, Ε によって囲まれる矩形の比は、Δ と Ε の比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Γ, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε·
したがって、Α と Γ の比もまた、Δ と Ε の比と同じである。
σύμμετρος δὲ ἡ Α τῇ Γ δυνάμει.
ところで Α は Γ と平方においてのみ通約可能である。
σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ Δ τῇ Ε δυνάμει μόνον.
したがって Δ も Ε と平方においてのみ通約可能である。
μέση δὲ ἡ Δ·
そして Δ は中項直線である。
μέση ἄρα καὶ ἡ Ε. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, ἡ δὲ Α τῆς Γ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ Δ ἄρα τῆς Ε μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
したがって Ε も中項直線である。 そして、Α と Γ の比が Δ と Ε の比と同じであり、かつ Α は Γ よりも、自身と通約可能な直線の上の正方形分だけ、より大きく二乗できるから、したがって Δ も Ε よりも、自身と通約可能な直線の上の正方形分だけ、より大きく二乗できるであろう。
λέγω δή, ὅτι καὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ τῷ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ, μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε.
Εὕρηνται ἄρα δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Δ, Ε μέσον περιέχουσαι, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
次に、Δ, Ε によって囲まれる矩形も中項であることを私は主張する。 なぜなら、Β, Γ によって囲まれる矩形は Δ, Ε によって囲まれる矩形に等しく、かつ Β, Γ によって囲まれる矩形は中項であるから、したがって Δ, Ε によって囲まれる矩形も中項である。 したがって、中項の面積を囲む、平方においてのみ通約可能である２つの中項直線 Δ, Ε が見出された。 ただし、大きい方の直線が、小さい方の直線よりも、自身と長さにおいて通約可能な直線の上の正方形分だけ、より大きく二乗できるように。
ὁμοίως δὴ πάλιν δειχθήσεται καὶ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου, ὅταν ἡ Α τῆς Γ μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
そして同様に、Α が Γ よりも、自身と通約不可能な直線の上の正方形分だけ、より大きく二乗できるときには、再び、自身と通約不可能な直線の上の正方形分についても示されるであろう。
λῆμμα
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν α, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΑΔ·
補題直角 Α をもつ直角三角形 ΑΒΓ があるものとし、垂線 ΑΔ が引かれるものとせよ。
λέγω, ὅτι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΑ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, καὶ ἔτι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ.
καὶ πρῶτον, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΑ.
ἐπεὶ γὰρ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΑΔ, τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ ἄρα τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοις.
私は次のことを主張する。 すなわち、ΓΒ, ΒΔ によって囲まれる矩形は ΒΑ の上の正方形に等しく、ΒΓ, ΓΔ によって囲まれる矩形は ΓΑ の上の正方形に等しく、ΒΔ, ΔΓ によって囲まれる矩形は ΑΔ の上の正方形に等しく、さらに ΒΓ, ΑΔ によって囲まれる矩形は ΒΑ, ΑΓ によって囲まれる矩形に等しい。 そしてまず、ΓΒ, ΒΔ によって囲まれる矩形が ΒΑ の上の正方形に等しいこと。 なぜなら、直角三角形において、直角から底辺へ垂線 ΑΔ が引かれたから、したがって三角形 ΑΒΔ, ΑΔΓ は全体である ΑΒΓ と、また互いに相似である。
καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΒΔ·
そして、三角形 ΑΒΓ は三角形 ΑΒΔ と相似であるから、したがって ΓΒ と ΒΑ の比は、ΒΑ と ΒΔ の比と同じである。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ.
καὶ ἐπεί, ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, ἡ ἀχθεῖσα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων μέση ἀνάλογόν ἐστιν, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ·
したがって、ΓΒ, ΒΔ によって囲まれる矩形は ΑΒ の上の正方形に等しい。 まったく同じ理由により、ΒΓ, ΓΔ によって囲まれる矩形も ΑΓ の上の正方形に等しい。 そして、直角三角形において直角から底辺へ垂線が引かれるならば、引かれた垂線は底辺の分節たちの比例中項であるから、したがって ΒΔ と ΔΑ の比は、ΑΔ と ΔΓ の比と同じである。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΑ.
λέγω, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. ἐπεὶ γάρ, ὡς ἔφαμεν, ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΒΔ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ·
したがって、ΒΔ, ΔΓ によって囲まれる矩形は ΔΑ の上の正方形に等しい。 次に、ΒΓ, ΑΔ によって囲まれる矩形も ΒΑ, ΑΓ によって囲まれる矩形に等しいことを主張する。 なぜなら、私たちが言ったように、ΑΒΓ は ΑΒΔ と相似であるから、したがって ΒΓ と ΓΑ の比は、ΒΑ と ΑΔ の比と同じである。 したがって、ΒΓ, ΑΔ によって囲まれる矩形は ΒΑ, ΑΓ によって囲まれる矩形に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。