§10.prop1.35εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνῳ.
平方において通約不可能な２つの直線を見出すこと。 それらの上の正方形の和が中項であり、それらによって囲まれる矩形も中項であり、さらにそれがそれらの上の正方形の和と通約不可能であるように。
Ἐκκείσθωσαν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ μέσον περιέχουσαι, ὥστε τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ τὰ λοιπὰ γεγονέτω τοῖς ἐπάνω ὁμοίως.
平方においてのみ通約可能であり、中項［の面積］を囲む２つの中項直線 ΑΒ, ΒΓ が設定されるものとせよ。 ただし、ΑΒ が ΒΓ よりも、自身と通約不可能な直線の上の正方形分だけ、より大きく二乗できるように。 そして ΑΒ の上に半円 ΑΔΒ が描かれるものとし、残りの部分は上の［命題］と同様になされるものとせよ。
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ μήκει, ἀσύμμετρός ἐστι καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ δυνάμει.
そして、ΑΖ は ΖΒ と長さにおいて通約不可能であるから、ΑΔ もまた ΔΒ と平方において通約不可能である。
καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, μέσον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀφʼ ἑκατέρας τῶν ΒΕ, ΔΖ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΔΖ·
そして、ΑΒ の上の正方形は中項であるから、したがって ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和もまた中項である。 そして、ΑΖ, ΖΒ によって囲まれる矩形は ΒΕ, ΔΖ のそれぞれの上の正方形に等しいから、したがって ΒΕ は ΔΖ に等しい。
διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΖΔ·
したがって ΒΓ は ΖΔ の２倍である。
ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
それゆえ、ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形もまた、ΑΒ, ΖΔ によって囲まれる矩形の２倍である。 ところで ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形は中項である。
μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ·
したがって ΑΒ, ΖΔ によって囲まれる矩形もまた中項である。 そして、それは ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形に等しい。
μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, σύμμετρος δὲ ἡ ΓΒ τῇ ΒΕ, ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΕ μήκει·
したがって ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形もまた中項である。 そして、ΑΒ は ΒΓ と長さにおいて通約不可能であり、かつ ΓΒ は ΒΕ と通約可能であるから、したがって ΑΒ もまた ΒΕ と長さにおいて通約不可能である。
ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
それゆえ、ΑΒ の上の正方形もまた、ΑΒ, ΒΕ によって囲まれる矩形と通約不可能である。
ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ·
ところで、ΑΒ の上の正方形は ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和に等しく、ΑΒ, ΒΕ によって囲まれる矩形は ΑΒ, ΖΔ によって囲まれる矩形、すなわち ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形に等しい。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ.
Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων·
したがって、ΑΔ, ΔΒ の上の正方形の和は、ΑΔ, ΔΒ によって囲まれる矩形と通約不可能である。 したがって、平方において通約不可能な２つの直線 ΑΔ, ΔΒ が見出された。 それらの上の正方形の和が中項であり、それらによって囲まれる矩形も中項であり、さらにそれがそれらの上の正方形の和と通約不可能であるように。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop1.36ἐὰν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσιν, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο ὀνομάτων.
もし平方においてのみ通約可能な２つの有理直線が足し合わされるならば、全体［の直線］は無理直線であり、それは二名線と呼ばれるものとせよ。
Συγκείσθωσαν γὰρ δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ·
実際、平方においてのみ通約可能な２つの有理直線 ΑΒ, ΒΓ が足し合わされているものとせよ。
λέγω, ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν.
私は、全体の ΑΓ が無理直線であることを主張する。
ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει· δυνάμει γὰρ μόνον εἰσὶ σύμμετροι· ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· αἱ γὰρ ΑΒ, ΒΓ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
なぜなら、ΑΒ は ΒΓ と長さにおいて通約不可能であり（なぜなら平方においてのみ通約可能だからである）、かつ ΑΒ と ΒΓ の比は、ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形と ΒΓ の上の正方形の比と同じであるから、したがって ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形は ΒΓ の上の正方形と通約不可能である。 ところで、ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形は、２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形と通約可能であり、ΒΓ の上の正方形は ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和と通約可能である（なぜなら ΑΒ, ΒΓ は有理直線であり、平方においてのみ通約可能だからである）。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καὶ συνθέντι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
したがって、２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形は、ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和と通約不可能である。 そして、ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和に２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形を加えたもの、すなわち ΑΓ の上の正方形は、ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和と通約不可能である。 ところで、ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和は有理である。
ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ·
したがって ΑΓ の上の正方形は無理である。
ὥστε καὶ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο ὀνομάτων·
それゆえ ΑΓ もまた無理であり、それは二名線と呼ばれるものとせよ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop1.37ἐὰν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι ῥητὸν περιέχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη.
もし平方においてのみ通約可能であり有理［の面積］を囲む２つの中項直線が足し合わされるならば、全体は無理直線であり、それは第一の二中項線と呼ばれるものとせよ。
Συγκείσθωσαν γὰρ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι·
実際、平方においてのみ通約可能であり有理［の面積］を囲む２つの中項直線 ΑΒ, ΒΓ が足し合わされているものとせよ。
λέγω, ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν.
私は、全体の ΑΓ が無理直線であることを主張する。
ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
なぜなら、ΑΒ は ΒΓ と長さにおいて通約不可能であるから、したがって ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和もまた、２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形と通約不可能である。
καὶ συνθέντι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
そして、ΑΒ, ΒΓ の上の正方形の和に２倍の ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形を加えたもの、すなわち ΑΓ の上の正方形は、ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形と通約不可能である。 ところで、ΑΒ, ΒΓ によって囲まれる矩形は有理である。
ὑπόκεινται γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι·
なぜなら、設定により ΑΒ, ΒΓ は有理［の面積］を囲むからである。
ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ·
したがって ΑΓ の上の正方形は無理である。
ἄλογος ἄρα ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη·
したがって ΑΓ は無理であり、それは第一の二中項線と呼ばれるものとせよ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。