§10.prop1.29εὑρεῖν δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
平方においてのみ通約可能である２つの有理直線を見出すこと。 ただし、大きい方の直線が、小さい方の直線よりも、自身と長さにおいて通約可能な直線の上の正方形分だけ、より大きく二乗できる（平方ができる）ように。
Ἐκκείσθω γάρ τις ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΓΔ, ΔΕ, ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὸν ΓΕ μὴ εἶναι τετράγωνον, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ.
ἐπεὶ ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, οὕτως ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ ΔΓ πρὸς ἀριθμὸν τὸν ΓΕ·
ある有理直線 ΑΒ が設定され、また２つの平方数 ΓΔ, ΔΕ が、それらの差である ΓΕ が平方数でないように設定されるものとせよ。 そして ΑΒ の上に半円 ΑΖΒ が描かれるものとせよ。 そして ΔΓ と ΓΕ の比が、ΒΑ の上の正方形と ΑΖ の上の正方形の比と同じであるように作られるものとし、かつ ΖΒ が結ばれるものとせよ。 ΒΑ の上の正方形と ΑΖ の上の正方形の比が、数 ΔΓ と数 ΓΕ の比と同じであるから、したがって ΒΑ の上の正方形は ΑΖ の上の正方形に対して、数 ΔΓ が数 ΓΕ に対してもつ比をもつ。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΖ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
したがって、ΒΑ の上の正方形は ΑΖ の上の正方形と通約可能である。 ところで ΑΒ の上の正方形は有理である。
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ·
したがって ΑΖ の上の正方形も有理である。
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΑΖ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって ΑΖ も有理直線である。 そして ΔΓ は ΓΕ に対して、平方数が平方数に対してもつ比をもたないので、したがって ΒΑ の上の正方形も ΑΖ の上の正方形に対して、平方数が平方数に対してもつ比をもたない。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΖ μήκει·
したがって、ΑΒ は ΑΖ と長さにおいて通約不可能である。
αἱ ΒΑ, ΑΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
したがって ΒΑ, ΑΖ は平方においてのみ通約可能な有理直線である。
καὶ ἐπεί ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ. ὁ δὲ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
そして、ΔΓ と ΓΕ の比が、ΒΑ の上の正方形と ΑΖ の上の正方形の比と同じであるから、したがって比を反転すると、ΓΔ と ΔΕ の比は、ΑΒ の上の正方形と ΒΖ の上の正方形の比と同じである。 ところで ΓΔ は ΔΕ に対して、平方数が平方数に対してもつ比をもつ。
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって ΑΒ の上の正方形も ΒΖ の上の正方形に対して、平方数が平方数に対してもつ比をもつ。
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΖ μήκει.
したがって、ΑΒ は ΒΖ と長さにおいて通約可能である。
καί ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ·
そして、 ΑΒ の上の正方形は ΑΖ, ΖΒ の上の正方形の和に等しい。
ἡ ΑΒ ἄρα τῆς ΑΖ μεῖζον δύναται τῇ ΒΖ συμμέτρῳ ἑαυτῇ.
したがって ΑΒ は ΑΖ よりも、自身と長さにおいて通約可能な ΒΖ の上の正方形分だけ、より大きく二乗できる。
Εὕρηνται ἄρα δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΒΑ, ΑΖ, ὥστε τὴν μείζονα τὴν ΑΒ τῆς ἐλάσσονος τῆς ΑΖ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει·
したがって、平方においてのみ通約可能な２つの有理直線 ΒΑ, ΑΖ が見出された。 ただし、大きい方である ΑΒ が小さい方である ΑΖ よりも、自身と長さにおいて通約可能な ΒΖ の上の正方形分だけ、より大きく二乗できるように。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。