§10.prop1.28#1μέσας εὑρεῖν δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας.
平方においてのみ通約可能であり、中項面積を包むような中項直線を見出すこと。
Ἐκκείσθωσαν ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Α, Β, Γ, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Β μέση ἀνάλογον ἡ Δ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε.
ἐπεὶ αἱ Α, Β ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς Δ, μέσον ἐστίν.
設定された有理線であって平方においてのみ通約可能であるものを Α, Β, Γ とせよ。 そして、Α, Β の比例中項である Δ が取られるものとし、かつ、Β が Γ に対する比は、Δ が Ε に対する比と同じであるように作られるものとせよ。 Α, Β は有理線であって平方においてのみ通約可能であるから、したがって、Α, Β に挟まれた長方形、すなわち Δ の上の正方形は中項面積である。
μέση ἄρα ἡ Δ. καὶ ἐπεὶ αἱ Β, Γ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι, καί ἐστιν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, καὶ αἱ Δ, Ε ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.
したがって、Δ は中項直線である。 そして、Β, Γ は平方においてのみ通約可能であり、かつ Β が Γ に対する比は Δ が Ε に対する比と同じであるから、したがって Δ, Ε もまた平方においてのみ通約可能である。
μέση δὲ ἡ Δ·
ところで、Δ は中項直線である。
μέση ἄρα καὶ ἡ Ε·
したがって Ε も中項直線である。
αἱ Δ, Ε ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.
したがって、Δ, Ε は平方においてのみ通約可能である中項直線である。
λέγω δή, ὅτι καὶ μέσον περιέχουσιν.
私は、それらが中項面積をも包む、と言う。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Δ, ἡ Γ πρὸς τὴν Ε. ὡς δὲ ἡ Β πρὸς τὴν Δ, ἡ Δ πρὸς τὴν Α·
なぜなら、Β が Γ に対する比は Δ が Ε に対する比と同じであるから、したがって、交互にすれば、Β が Δ に対する比は Γ が Ε に対する比と同じである。 ところで、Β が Δ に対する比は、 Δ が Α に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ἡ Δ πρὸς τὴν Α, ἡ Γ πρὸς τὴν Ε·
したがってまた、Δ が Α に対する比は、Γ が Ε に対する比と同じである。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ·
したがって、Α, Γ に挟まれた長方形は Δ, Ε に挟まれた長方形と等しい。 ところで、Α, Γ に挟まれた長方形は中項面積である。
μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε.
Εὕρηνται ἄρα μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι·
したがって、Δ, Ε に挟まれた長方形も中項面積である。 したがって、中項面積を包む、平方においてのみ通約可能である中項直線が見出された。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
λῆμμα
εὑρεῖν δύο τετραγώνους ἀριθμούς, ὥστε καὶ τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν εἶναι τετράγωνον.
補題足し合わされた和もまた平方数となるような、２つの平方数を見出すこと。
Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ, ἔστωσαν δὲ ἤτοι ἄρτιοι ἢ περιττοί.
２つの数 ΑΒ, ΒΓ が設定されるものとし、それらはともに偶数であるか、あるいはともに奇数であるとする。
καὶ ἐπεί, ἐάν τε ἀπὸ ἀρτίου ἄρτιος ἀφαιρεθῇ, ἐάν τε ἀπὸ περισσοῦ περισσός, ὁ λοιπὸς ἄρτιός ἐστιν, ὁ λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΓ ἄρτιός ἐστιν.
そして、偶数から偶数が引かれても、奇数から奇数が引かれても、残りは偶数であるから、したがって残りの ΑΓ は偶数である。
τετμήσθω ὁ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ. ἔστωσαν δὲ καὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ ἤτοι ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἢ τετράγωνοι, οἳ καὶ αὐτοὶ ὅμοιοί εἰσιν ἐπίπεδοι·
ΑΓ は Δ において２等分されるものとせよ。 また、ΑΒ, ΒΓ も、ともに相似な平面数であるか、あるいは平方数（これら自体も相似な平面数である）であるとする。
ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ τετραγώνου ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ ΒΔ τετραγώνῳ.
したがって、ΑΒ, ΒΓ の積に ΓΔ の上の正方形を加えたものは、ΒΔ の上の正方形に等しい。
καί ἐστι τετράγωνος ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἐπειδήπερ ἐδείχθη, ὅτι, ἐὰν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος τετράγωνός ἐστιν.
そして、ΑΒ, ΒΓ の積は平方数である。 なぜなら、「２つの相似な平面数が互いに掛け合わされてある数を作るとき、生じた数は平方数である」ということが示されたからである。
εὕρηνται ἄρα δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ ὅ τε ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΓΔ, οἳ συντεθέντες ποιοῦσι τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΔ τετράγωνον.
したがって、２つの平方数、すなわち ΑΒ, ΒΓ の積と、ΓΔ の上の平方数が見出され、それらは合算されると ΒΔ の上の平方数を作る。
καὶ φανερόν, ὅτι εὕρηνται πάλιν δύο τετράγωνοι ὅ τε ἀπὸ τοῦ ΒΔ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΓΔ, ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὸν ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ εἶναι τετράγωνον, ὅταν οἱ ΑΒ, ΒΓ ὅμοιοι ὦσιν ἐπίπεδοι.
そして明らかに、再度２つの平方数、すなわち ΒΔ の上の平方数と ΓΔ の上の平方数が見出され、それらの差である ΑΒ, ΒΓ の積は、ΑΒ, ΒΓ が相似な平面数であるとき、平方数となる。
ὅταν δὲ μὴ ὦσιν ὅμοιοι ἐπίπεδοι, εὕρηνται δύο τετράγωνοι ὅ τε ἀπὸ τοῦ ΒΔ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΓ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ οὐκ ἔστι τετράγωνος·
しかし、それらが相似な平面数でないときには、２つの平方数、すなわち ΒΔ の上の平方数と ΔΓ の上の平方数が見出され、それらの差である ΑΒ, ΒΓ の積は平方数とはならない。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。