§10.prop1.26μέσον μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ.
中項面積は中項面積を、有理面積だけ上回ることはない。
εἰ γὰρ δυνατόν, μέσον τὸ ΑΒ μέσου τοῦ ΑΓ ὑπερεχέτω ῥητῷ τῷ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΖΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ, τῷ δὲ ΑΓ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΖΗ·
なぜなら、もし可能であるならば、中項面積 ΑΒ が中項面積 ΑΓ を、有理面積 ΔΒ だけ上回るものとせよ。 そして、有理線 ΕΖ が設定されるものとし、ΑΒ に等しい長方形の平行四辺形 ΖΘ が、ΕΖ に沿って適用され、幅 ΕΘ を生じるものとせよ。 また ΑΓ に等しい ΖΗ が［ΖΘ から］差し引かれるものとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΔ λοιπῷ τῷ ΚΘ ἐστιν ἴσον.
したがって、残りの ΒΔ は残りの ΚΘ と等しい。
ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ΔΒ·
ところで、ΔΒ は有理である。
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΚΘ. ἐπεὶ οὖν μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΑΓ, καί ἐστι τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΖΘ ἴσον, τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΖΗ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΖΘ, ΖΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται·
したがって ΚΘ も有理である。 そこで、ΑΒ, ΑΓ のそれぞれは中項面積であり、また ΑΒ は ΖΘ と等しく、ΑΓ は ΖΗ と等しいから、したがって ΖΘ, ΖΗ のそれぞれも中項面積である。 そして、それらは有理線 ΕΖ に沿って貼られている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΘΕ, ΕΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
したがって、ΘΕ, ΕΗ のそれぞれは有理線であり、かつ ΕΖ と長さにおいて非通約である。
καὶ ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ ΔΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΚΘ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΚΘ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται·
アンド、 ΔΒ は有理であり、かつ ΚΘ と等しいから、したがって ΚΘ も有理である。 そして、それは有理線 ΕΖ に沿って貼られている。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ καὶ σύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
したがって、ΗΘ は有理線であり、かつ ΕΖ と長さにおいて通約可能である。
ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει·
しかし、ΕΗ も有理線であって ΕΖ と長さにおいて非通約である。
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΘ μήκει.
したがって、ΕΗ は ΗΘ と長さにおいて非通約である。
καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ·
そして、ΕΗ が ΗΘ に対する比は、ΕΗ の上の正方形が ΕΗ, ΗΘ に挟まれた長方形に対する比と同じである。
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΕΗ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ τετράγωνα·
したがって、ΕΗ の上の正方形は ΕΗ, ΗΘ に挟まれた長方形と非通約である。 ところが、ΕΗ, ΗΘ の上の正方形［の和］は、ΕΗ の上の正方形と通約可能である。
ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα·
なぜなら、両者はともに有理だからである。
τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ·
また、ΕΗ, ΗΘ に挟まれた長方形の２倍は、ΕΗ, ΗΘ に挟まれた長方形と通約可能である。
διπλάσιον γάρ ἐστιν αὐτοῦ·
なぜなら、それはその２倍だからである。
ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ·
したがって、ΕΗ, ΗΘ の上の正方形［の和］は、ΕΗ, ΗΘ に挟まれた長方形の２倍と非通約である。
καὶ συναμφότερα ἄρα τά τε ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ, ἀσύμμετρόν ἐστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ. ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ·
それゆえ、両方の合算、すなわち ΕΗ, ΗΘ の上の正方形［の和］と、ΕΗ, ΗΘ に挟まれた長方形の２倍（これは ΕΘ の上の正方形である）も、ΕΗ, ΗΘ の上の正方形［の和］と非通約である。 ところで、 ΕΗ, ΗΘ の上の正方形［の和］は有理である。
ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ. ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ. ἀλλὰ καὶ ῥητή·
したがって、ΕΘ の上の正方形は無理である。 したがって、ΕΘ は無理線である。 しかし、それは有理線でもある。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
μέσον ἄρα μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ·
したがって、中項面積は中項面積を、有理面積だけ上回ることはない。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§10.prop1.27μέσας εὑρεῖν δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας.
平方においてのみ通約可能であり、有理な長方形を包むような中項直線を見出すこと。
Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Α, Β, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Β μέση ἀνάλογον ἡ Γ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ.
καὶ ἐπεὶ αἱ Α, Β ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς Γ, μέσον ἐστίν.
設定された２つの有理線であって平方においてのみ通約可能であるものを Α, Β とせよ。 そして、Α, Β の比例中項である Γ が取られるものとし、かつ、Α が Β に対する比は、Γ が Δ に対する比と同じであるように作られるものとせよ。 そして、Α, Β は有理線であって平方においてのみ通約可能であるから、したがって、Α, Β に挟まれた長方形、すなわち Γ の上の正方形は中項面積である。
μέση ἄρα ἡ Γ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, αἱ δὲ Α, Β δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ αἱ Γ, Δ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.
したがって、Γ は中項直線である。 そして、Α が Β に対する比は Γ が Δ に対する比と同じであり、Α, Β は平方においてのみ通約可能であるから、したがって Γ, Δ も平方においてのみ通約可能である。
καί ἐστι μέση ἡ Γ· μέση ἄρα καὶ ἡ Δ. αἱ Γ, Δ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.
そして、Γ は中項直線であるから、したがって Δ も中項直線である。 したがって、Γ, Δ は平方においてのみ通約可能である中項直線である。
λέγω, ὅτι καὶ ῥητὸν περιέχουσιν.
私は、それらが有理な長方形をも包む、と言う。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἡ Β πρὸς τὴν Δ. ἀλλʼ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἡ Γ πρὸς τὴν Β·
なぜなら、Α が Β に対する比は Γ が Δ に対する比と同じであるから、したがって、交互にすれば Α が Γ に対する比は Β が Δ に対する比と同じである。 ところが、Α が Γ に対する比は Γ が Β に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ἡ Γ πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Δ·
したがってまた、Γ が Β に対する比は、Β が Δ に対する比と同じである。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ, Δ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Β·
したがって、Γ, Δ に挟まれた長方形は Β の上の正方形と等しい。 ところで、Β の上の正方形は有理である。
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ.
Εὕρηνται ἄρα μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι·
したがって、Γ, Δ に挟まれた長方形も有理である。 したがって、有理な長方形を包む、平方においてのみ通約可能である中項直線が見出された。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。