§10.prop1.19τὸ ὑπὸ ῥητῶν μήκει συμμέτρων κατά τινα τῶν προειρημένων τρόπων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ῥητόν ἐστιν.
上述のいずれかの方法において長さにおいて通約可能である有理な直線に挟まれた長方形は有理である。
ὑπὸ γὰρ ῥητῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ·
なぜなら、長さにおいて通約可能である有理な直線 ΑΒ, ΒΓ に挟まれた長方形を ΑΓ とせよ。
λέγω, ὅτι ῥητόν ἐστι τὸ ΑΓ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ·
私は、ΑΓ は有理である、と言う。 なぜなら、ΑΒ の上に正方形 ΑΔ が記述されるものとせよ。
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, ἴση δέ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ τῇ ΒΓ μήκει.
したがって、ΑΔ は有理である。 そして、ΑΒ は ΒΓ と長さにおいて通約可能であり、かつ ΑΒ は ΒΔ と等しいので、したがって ΒΔ も ΒΓ と長さにおいて通約可能である。
καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ. σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ΔΑ·
そして、ΒΔ の ΒΓ に対する比は、ΔΑ の ΑΓ に対する比と同じである。 したがって、ΔΑ は ΑΓ と通約可能である。 ところが、ΔΑ は有理である。
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΓ.
τὸ ἄρα ὑπὸ ῥητῶν μήκει συμμέτρων, καὶ τὰ ἑξῆς.
したがって、ΑΓ も有理である。 したがって、長さにおいて通約可能である有理な直線に挟まれた、およびその後に続くもの。
§10.prop1.20ἐὰν ῥητὸν παρὰ ῥητὴν παραβληθῇ, πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ σύμμετρον τῇ, παρʼ ἣν παράκειται, μήκει.
もし有理な面積が有理な直線に沿って適用されるならば、それは、適用される対象の直線と長さにおいて通約可能で有理な直線幅を生じる。
ῥητὸν γὰρ τὸ ΑΓ παρὰ ῥητὴν κατά τινα πάλιν τῶν προειρημένων τρόπων τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω πλάτος ποιοῦν τὴν ΒΓ·
なぜなら、有理な面積 ΑΓ が、再び上述のいずれかの方法において有理な直線である ΑΒ に沿って適用されるものとし、直線幅 ΒΓ を生じるものとせよ。
λέγω, ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ ΒΓ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΑ μήκει.
私は、ΒΓ は有理であり、かつ ΒΑ と長さにおいて通約可能である、と言う。
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ·
なぜなら、ΑΒ の上に正方形 ΑΔ が記述されるものとせよ。
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. ῥητὸν δὲ καὶ τὸ ΑΓ·
したがって、ΑΔ は有理である。 また ΑΓ も有理である。
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ. καί ἐστιν ὡς τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ. σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ·
したがって、ΔΑ は ΑΓ と通約可能である。 そして、ΔΑ の ΑΓ に対する比は、ΔΒ の ΒΓ に対する比と同じである。 したがって、ΔΒ も ΒΓ と通約可能である。
ἴση δὲ ἡ ΔΒ τῇ ΒΑ·
ところが、ΔΒ は ΒΑ と等しい。
σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ. ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΑΒ·
したがって、ΑΒ も ΒΓ と通約可能である。 そして、ΑΒ は有理である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ καὶ σύμμετρος τῇ ΑΒ μήκει.
したがって、ΒΓ も有理であり、かつ ΑΒ と長さにおいて通約可能である。
ἐὰν ἄρα ῥητὸν παρὰ ῥητὴν παραβληθῇ, καὶ τὰ ἑξῆς.
したがって、もし有理な面積が有理な直線に沿って適用されるならば、およびその後に続くもの。
§10.prop1.21τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μέση.
平方においてのみ通約可能である有理な直線に挟まれた長方形は無理であり、かつその一辺は無理である。 そして、それは中項線と呼ばれよ。
ὑπὸ γὰρ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ·
なぜなら、平方においてのみ通約可能である有理な直線 ΑΒ, ΒΓ に挟まれた長方形を ΑΓ とせよ。
λέγω, ὅτι ἄλογόν ἐστι τὸ ΑΓ, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μέση.
私は、ΑΓ は無理であり、かつその一辺は無理である、と言う。 そして、それは中項線と呼ばれよ。
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ·
なぜなら、ΑΒ の上に正方形 ΑΔ が記述されるものとせよ。
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει· δυνάμει γὰρ μόνον ὑπόκεινται σύμμετροι· ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ μήκει.
したがって、ΑΔ は有理である。 そして、ΑΒ は ΒΓ と長さにおいて非通約であるから（なぜなら、平方においてのみ通約可能であると仮定されているから）、かつ ΑΒ は ΒΔ と等しいので、したがって ΔΒ も ΒΓ と長さにおいて非通約である。
καί ἐστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΑΔ πρὸς τὸ ΑΓ·
そして、ΔΒ の ΒΓ に対する比は、ΑΔ の ΑΓ に対する比と同じである。
ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ΔΑ·
したがって、ΔΑ は ΑΓ と非通約である。 ところが、 ΔΑ は有理である。
ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ·
したがって、ΑΓ は無理である。
ὥστε καὶ ἡ δυναμένη τὸ ΑΓ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μέση·
そのため、ΑΓ を等価する正方形の辺も無理である。 そして、それは中項線と呼ばれよ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
λῆμμα
ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτέραν, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν.
λῆμμα もし2つの直線があるならば、第1の直線が第2の直線に対する比は、第1の直線上の正方形がその2つの直線に挟まれた長方形に対する比と同じである。
ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΖΕ, ΕΗ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΖΕ τετράγωνον τὸ ΔΖ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΗΔ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ΖΔ πρὸς τὸ ΔΗ, καί ἐστι τὸ μὲν ΖΔ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, τὸ δὲ ΔΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΗ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΕ τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ. ὁμοίως δὲ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΕ, ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ, τουτέστιν ὡς τὸ ΗΔ πρὸς τὸ ΖΔ, οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ·
2つの直線 ΖΕ, ΕΗ があるとせよ。 私は、ΖΕ が ΕΗ に対する比は、ΖΕ の上の正方形が ΖΕ, ΕΗ に挟まれた長方形に対する比と同じである、と言う。 なぜなら、ΖΕ の上に正方形 ΔΖ が記述されるものとし、長方形 ΗΔ が完成されるものとせよ。 したがって、ΖΕ が ΕΗ に対する比は、ΖΔ が ΔΗ に対する比と同じであり、かつ ΖΔ は ΖΕ の上の正方形であり、ΔΗ は ΔΕ, ΕΗ に挟まれた長方形、すなわち ΖΕ, ΕΗ に挟まれた長方形であるから、したがって ΖΕ が ΕΗ に対する比は、ΖΕ の上の正方形が ΖΕ, ΕΗ に挟まれた長方形に対する比と同じである。 同様にして、ΗΕ, ΕΖ に挟まれた長方形が ΕΖ の上の正方形に対する比、すなわち ΗΔ が ΖΔ に対する比も、ΗΕ が ΕΖ に対する比と同じである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。