§1.prop.42τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
与えられた三角形に等しい平行四辺形を、与えられた直線角の中に作ること。
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Δ· δεῖ δὴ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ Δ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ. τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΕΓ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ε τῇ Δ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΕΖ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Α τῇ ΕΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΗ, διὰ δὲ τοῦ Γ τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΗ·
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Δ· δεῖ δὴ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ Δ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ. ΒΓ が点 Ε において二等分され、ΑΕ が結ばれよ。 そして、直線 ΕΓ およびその上の点 Ε において、角 Δ に等しい角 ΓΕΖ が作られよ。 そして、点 Α を通り直線 ΕΓ に平行な ΑΗ が引かれ、点 Γ を通り直線 ΕΖ に平行な ΓΗ が引かれよ。
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΕΓΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΓ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΕΓ τριγώνῳ·
したがって、ΖΕΓΗ は平行四辺形である。 そして、ΒΕ は ΕΓ に等しいので、三角形 ΑΒΕ も三角形 ΑΕΓ に等しい。
ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΕ, ΕΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ, ΑΗ·
なぜなら、それらは等しい底辺 ΒΕ, ΕΓ の上にあり、かつ同じ平行線 ΒΓ, ΑΗ の間にあるからである。
διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΑΕΓ τριγώνου.
したがって、三角形 ΑΒΓ は三角形 ΑΕΓ の2倍である。
ἔστι δὲ καὶ τὸ ΖΕΓΗ παραλληλόγραμμον διπλάσιον τοῦ ΑΕΓ τριγώνου·
また、平行四辺形 ΖΕΓΗ も三角形 ΑΕΓ の2倍である。
βάσιν τε γὰρ αὐτῷ τὴν αὐτὴν ἔχει καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς ἐστιν αὐτῷ παραλλήλοις·
なぜなら、それと同じ底辺を持ち、かつ同じ平行線の間にあるからである。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΕΓΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ.
したがって、平行四辺形 ΖΕΓΗ は三角形 ΑΒΓ に等しい。
καὶ ἔχει τὴν ὑπὸ ΓΕΖ γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ τῇ Δ.
τῷ ἄρα δοθέντι τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον συνέσταται τὸ ΖΕΓΗ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΕΖ, ἥτις ἐστὶν ἴση τῇ Δ·
そして、それは与えられた角 Δ に等しい角 ΓΕΖ を持つ。 したがって、与えられた三角形 ΑΒΓ に等しい平行四辺形 ΖΕΓΗ が、Δ に等しい角 ΓΕΖ の中に作られた。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそ作図すべきことであった。
§1.prop.43παντὸς παραλληλογράμμου τῶν περὶ τὴν διάμετρον παραλληλογράμμων τὰ παραπληρώματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
任意の平行四辺形において、対角線の周りにある平行四辺形の補形は互いに等しい。
ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ, περὶ δὲ τὴν ΑΓ παραλληλόγραμμα μὲν ἔστω τὰ ΖΘ, ΖΗ, τὰ δὲ λεγόμενα παραπληρώματα τὰ ΒΚ, ΚΔ·
平行四辺形を ΑΒΓΔ、その対角線を ΑΓ、ΑΓ の周りにある平行四辺形を ΖΘ, ΖΗ とし、いわゆる補形を ΒΚ, ΚΔ とせよ。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΚ παραπλήρωμα τῷ ΚΔ παραπληρώματι.
私は言う、補形 ΒΚ は補形 ΚΔ に等しいと。
ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ, ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΔ τριγώνῳ.
なぜなら、ΑΒΓΔ は平行四辺形であり、ΑΓ はその対角線であるので、三角形 ΑΒΓ は三角形 ΑΓΔ に等しい。
πάλιν, ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΕΘ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἐστιν ἡ ΑΚ, ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΕΚ τρίγωνον τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ.
再び、ΕΘ は平行四辺形であり、ΑΚ はその対角線であるので、三角形 ΑΕΚ は三角形 ΑΘΚ に等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΚΖΓ τρίγωνον τῷ ΚΗΓ ἐστιν ἴσον.
まったく同じ理由により、三角形 ΚΖΓ も三角形 ΚΗΓ に等しい。
ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ΑΕΚ τρίγωνον τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον, τὸ δὲ ΚΖΓ τῷ ΚΗΓ, τὸ ΑΕΚ τρίγωνον μετὰ τοῦ ΚΗΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ μετὰ τοῦ ΚΖΓ·
したがって、三角形 ΑΕΚ が三角形 ΑΘΚ に等しく、かつ ΚΖΓ が ΚΗΓ に等しいので、三角形 ΑΕΚ と ΚΗΓ の和は、三角形 ΑΘΚ と ΚΖΓ の和に等しい。
ἔστι δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὅλῳ τῷ ΑΔΓ ἴσον·
また、全体の三角形 ΑΒΓ も全体の ΑΔΓ に等しい。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΚ παραπλήρωμα λοιπῷ τῷ ΚΔ παραπληρώματί ἐστιν ἴσον.
したがって、残りの補形 ΒΚ は残りの補形 ΚΔ に等しい。
παντὸς ἄρα παραλληλογράμμου χωρίου τῶν περὶ τὴν διάμετρον παραλληλογράμμων τὰ παραπληρώματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
したがって、任意の平行四辺形の面積において、対角線の周りにある平行四辺形の補形は互いに等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
§1.prop.44παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
与えられた直線に沿って、与えられた三角形に等しく、かつ与えられた直線角の中にある平行四辺形をあてがうこと。
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν τρίγωνον τὸ Γ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Δ·
与えられた直線を ΑΒ、与えられた三角形を Γ、与えられた直線角を Δ とせよ。
δεῖ δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐν ἴσῃ τῇ Δ γωνίᾳ.
与えられた直線 ΑΒ に沿って、与えられた三角形 Γ に等しい平行四辺形を、角 Δ に等しい角の中にあてがわねばならない。
συνεστάτω τῷ Γ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΕΖΗ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΒΗ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Δ·
三角形 Γ に等しい平行四辺形 ΒΕΖΗ が、角 Δ に等しい角 ΕΒΗ の中に作られよ。
καὶ κείσθω ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΒΕ τῇ ΑΒ, καὶ διήχθω ἡ ΖΗ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΗ, ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΒ. καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΘ, ΕΖ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΘΖ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΘΖ, ΘΖΕ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι.
そして、ΒΕ が ΑΒ と一直線上にあるように置かれ、ΖΗ が Θ まで延長されよ。 そして、点 Α を通り ΒΗ, ΕΖ のいずれにも平行な ΑΘ が引かれ、ΘΒ が結ばれよ。 そして、平行線 ΑΘ, ΕΖ に直線 ΘΖ が交わったので、角 ΑΘΖ, ΘΖΕ の和は二直角に等しい。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΘΗ, ΗΖΕ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν·
したがって、角 ΒΘΗ, ΗΖΕ の和は二直角より小さい。
αἱ δὲ ἀπὸ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν εἰς ἄπειρον ἐκβαλλόμεναι συμπίπτουσιν·
二直角より小さい角をなす直線は、限りなく延長されると交わる。
αἱ ΘΒ, ΖΕ ἄρα ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται.
したがって、ΘΒ, ΖΕ は延長されると交わる。
ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Κ, καὶ διὰ τοῦ Κ σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΕΑ, ΖΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΛ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΘΑ, ΗΒ ἐπὶ τὰ Λ, Μ σημεῖα.
それらが延長され、点 Κ において交わるとせよ。 そして点 Κ を通り、ΕΑ, ΖΘ のいずれにも平行な ΚΛ が引かれ、ΘΑ, ΗΒ が点 Λ, Μ まで延長されよ。
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΛΚΖ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΘΚ, περὶ δὲ τὴν ΘΚ παραλληλόγραμμα μὲν τὰ ΑΗ, ΜΕ, τὰ δὲ λεγόμενα παραπληρώματα τὰ ΛΒ, ΒΖ·
したがって、ΘΛΚΖ は平行四辺形であり、ΘΚ はその対角線であり、ΘΚ の周りにある平行四辺形は ΑΗ, ΜΕ であり、いわゆる補形は ΛΒ, ΒΖ である。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΒ τῷ ΒΖ. ἀλλὰ τὸ ΒΖ τῷ Γ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον·
したがって、ΛΒ は ΒΖ に等しい。 しかし、ΒΖ は三角形 Γ に等しい。
καὶ τὸ ΛΒ ἄρα τῷ Γ ἐστιν ἴσον.
したがって、ΛΒ も Γ に等しい。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΜ, ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΗΒΕ τῇ Δ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ ἄρα τῇ Δ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση.
そして、角 ΗΒΕ は角 ΑΒΜ に等しく、かつ角 ΗΒΕ は角 Δ に等しいので、角 ΑΒΜ も角 Δ に等しい。
παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΛΒ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΜ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Δ·
したがって、与えられた直線 ΑΒ に沿って、与えられた三角形 Γ に等しい平行四辺形 ΛΒ が、Δ に等しい角 ΑΒΜ の中にあてがわれた。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそ作図すべきことであった。