§1.prop.47ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
直角三角形において、直角を対辺とする辺の上の正方形は、直角をはさむ辺の上の正方形の和に等しい。
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν·
直角である角 ΒΑΓ を有する直角三角形を ΑΒΓ とせよ。
λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.
私は、辺 ΒΓ の上の正方形は、辺 ΒΑ, ΑΓ の上の正方形の和に等しいと言う。
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ·
なぜなら、辺 ΒΓ からは正方形 ΒΔΕΓ が、辺 ΒΑ, ΑΓ からは ΗΒ, ΘΓ が描かれよ。 そして、点 Α を通り、ΒΔ, ΓΕ のいずれか一方に平行に直線 ΑΛ が引かれよ。
καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν·
そして、ΑΔ, ΖΓ が結ばれよ。 そして、角 ΒΑΓ, ΒΑΗ のそれぞれは直角であるので、ある直線 ΒΑ およびその上の点 Α において、同じ側にない二本の直線 ΑΓ, ΑΗ が、隣り合う角を二直角に等しくしている。
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπʼ εὐθείας.
したがって、ΓΑ は ΑΗ と一直線上にある。 同じ理由により、ΒΑ も ΑΘ と一直線上にある。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα·
そして、角 ΔΒΓ は角 ΖΒΑ に等しい（なぜなら、それぞれ直角だからである）。
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ·
共通のものとして角 ΑΒΓ が加えられよ。
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση.
したがって、全体の角 ΔΒΑ は全体の角 ΖΒΓ に等しい。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
そして、 ΔΒ は ΒΓ に等しく、角 ΖΒ は ΒΑ に等しいので、二つの辺 ΔΒ, ΒΑ は二つの辺 ΖΒ, ΒΓ にそれぞれ等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση·
そして、角 ΔΒΑ は角 ΖΒΓ に等しい。
βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον·
したがって、底辺 ΑΔ は底辺 ΖΓ に等しく、三角形 ΑΒΔ は三角形 ΖΒΓ に等しい。
καὶ τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον·
そして、平行四辺形 ΒΛ は三角形 ΑΒΔ の二倍である。
βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ·
なぜなら、それらは同じ底辺 ΒΔ を持ち、同じ平行線 ΒΔ, ΑΛ の間にあるからである。
τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ τετράγωνον·
他方、正方形 ΗΒ は三角形 ΖΒΓ の二倍である。
βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ.
なぜなら、それらは再び同じ底辺 ΖΒ を持ち、同じ平行線 ΖΒ, ΗΓ の間にあるからである。 したがって、平行四辺形 ΒΛ も正方形 ΗΒ に等しい。
ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ τετραγώνῳ·
同様にして、ΑΕ, ΒΚ が結ばれると、平行四辺形 ΓΛ も正方形 ΘΓ に等しいことが示されるであろう。
ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ τετραγώνοις ἴσον ἐστίν.
したがって、全体の正方形 ΒΔΕΓ は二つの正方形 ΗΒ, ΘΓ の和に等しい。
καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις.
そして、正方形 ΒΔΕΓ は辺 ΒΓ から描かれたものであり、ΗΒ, ΘΓ は辺 ΒΑ, ΑΓ から描かれたものである。 したがって、辺 ΒΓ の上の正方形は、辺 ΒΑ, ΑΓ の上の正方形の和に等しい。
ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις·
したがって、直角三角形において、直角を対辺とする辺の上の正方形は、直角をはさむ辺の上の正方形の和に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
§1.prop.48ἐὰν τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τετραγώνοις, ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ὀρθή ἐστιν.
もし三角形において、一つの辺の上の正方形が、その三角形の残りの二つの辺の上の正方形の和に等しいならば、その三角形の残りの二つの辺に挟まれた角は直角である。
τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τὸ ἀπὸ μιᾶς τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἔστω τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις·
なぜなら、三角形 ΑΒΓ において、一辺 ΒΓ の上の正方形が、辺 ΒΑ, ΑΓ の上の正方形の和に等しいとせよ。
λέγω, ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία.
私は、角 ΒΑΓ は直角であると言う。
ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΓ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΔ καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.
なぜなら、点 Α から直線 ΑΓ に直角に ΑΔ が引かれ、ΒΑ に等しい ΑΔ が置かれ、そして ΔΓ が結ばれよ。 ΔΑ は ΑΒ に等しいので、ΔΑ の上の正方形も ΑΒ の上の正方形に等しい。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον·
共通のものとして ΑΓ の上の正方形が加えられよ。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΔΑ, ΑΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.
したがって、ΔΑ, ΑΓ の上の正方形の和は、ΒΑ, ΑΓ の上の正方形の和に等しい。
ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΔΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία·
しかし、 ΔΑ, ΑΓ の上の正方形の和には、ΔΓ の上の正方形が等しい（角 ΔΑΓ は直角だからである）。
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ· ὑπόκειται γάρ·
他方、ΒΑ, ΑΓ の上の正方形の和には、ΒΓ の上の正方形が等しい（これが仮定されているからである）。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ·
したがって、ΔΓ の上の正方形は ΒΓ の上の正方形に等しい。
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΔΓ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση·
したがって辺 ΔΓ も辺 ΒΓ に等しい。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΓ δύο ταῖς ΒΑ, ΑΓ ἴσαι εἰσίν·
そして、ΔΑ は ΑΒ に等しく、ΑΓ は共通であるので、二つの辺 ΔΑ, ΑΓ は二つの辺 ΒΑ, ΑΓ に等しい。
καὶ βάσις ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΒΓ ἴση·
底辺 ΔΓ は底辺 ΒΓ に等しい。
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση.
したがって、角 ΔΑΓ は角 ΒΑΓ に等しい。
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ·
ところで角 ΔΑΓ は直角である。
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ.
ἐὰν ἄρα τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τετραγώνοις, ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ὀρθή ἐστιν·
したがって、角 ΒΑΓ も直角である。 したがって、もし三角形において、一つの辺の上の正方形が、その三角形の残りの二つの辺の上の正方形の和に等しいならば、その三角形の残りの二つの辺に挟まれた角は直角である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。