§8## ή.
## ή.
Εἴ κα ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις ΑΒ προσαρμοσμένα ᾖ, ἐκβληθῇ δὲ κατὰ τὸ Γ σαμεῖον, ὥστε τὰν ΒΓ εὐθεῖαν τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσαν εἶμεν, διαχθῇ δὲ εὐθεῖά τις ἀπὸ τοῦ Γ διὰ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐπὶ τὸ Ε σαμεῖον, ἐσσεῖται περιφέρεια ἁ ΑΕ περιφερείας τᾶς ΒΖ τριπλασίων.
만약 원 안에 어떤 직선 ΑΒ가［현으로］맞춰져 있고, 그것이 점 Γ까지 연장되어 직선 ΒΓ가 반지름과 같게 되며, 어떤 직선이 Γ로부터 원의 중심을 지나 점 Ε까지 그어진다면, 호 ΑΕ는 호 ΒΖ의 세 배가 될 것이다.
Ἄχθω γὰρ ἁ ΕΗ παρὰ τὰν ΑΒ καὶ ἐπεζεύχθων αἱ △Β, △Η. Ἐπεὶ οὖν γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΓ△, Β△Γ, △ΕΗ, △ΗΕ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, γωνία δὲ ἁ ὑπὸ Γ△Η γωνίας τᾶς ὑπὸ △ΕΗ ἐστὶ διπλασίων, ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ Β△Η γωνίας τᾶς ὑπὸ Β△Γ τριπλασίων.
실제로 ΕΗ가 ΑΒ에 평행하게 그어지고, ΔΒ, ΔΗ가 연결되었다고 하자. 그렇다면 각 ΒΓΔ, ΒΔΓ, ΔΕΗ, ΔΗΕ는 서로 같고, 각 ΓΔΗ는 각 ΔΕΗ의 두 배이므로, 따라서 각 ΒΔΗ는 각 ΒΔΓ의 세 배가 될 것이다.
Ἐσσεῖται ἄρα περιφέρεια ἁ ΒΗ, τουτέστιν ἁ ΑΕ, περιφερείας τᾶς ΒΖ τριπλασίων·
따라서 호 ΒΗ, 즉 호 ΑΕ는 호 ΒΖ의 세 배가 될 것이다.
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
그러므로 증명하고자 하는 바가 증명되었다.
§9## θ΄.
## θ΄.
Εἴ κα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωντι ἀλλάλας ποτʼ ὀρθὰς μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, δύο αἱ ἀπεναντίον περιφέρειαι δυσὶ ταῖς ἀπεναντίον ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί.
만약 원 안에서 중심을 지나지 않는 두 직선이 서로 직각으로 교차한다면, 마주 보는 두 호［의 합］는［다른］마주 보는 두 호［의 합］와 같다.
Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ καὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Γ△ τέμνουσαι ἀλλάλας ποτʼ ὀρθάς, μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι·
원 ΑΒΓ가 있고, 중심을 지나지 않는 두 직선 ΑΒ, ΓΔ가 서로 직각으로 교차하고 있다고 하자.
φαμὶ δή, δύο αἱ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ Α△, ΓΒ δυσὶ ταῖς ἀπεναντίον ταῖς ΑΓ, Β△ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί.
이때 마주 보는 두 호 ΑΔ, ΓΒ［의 합］는［다른］마주 보는 두 호 ΑΓ, ΒΔ［의 합］와 같다고 나는 주장한다.
Τετμάσθω γὰρ δίχα ἁ Γ△ κατὰ τὸ H σαμεῖον καὶ διὰ τοῦ H διάχθω διάμετρος τοῦ κύκλου ἁ ΕΖ παρὰ τὰν ΑΒ.
Ἐπεὶ οὖν περιφέρεια ἁ ΕΓ περιφερείαις ταῖς ΕΑ, Α△ ἴσα ἐστίν, ἐσσοῦνται ἄρα περιφέρειαι αἱ ΓΖ, ΕΑ, Α△ ἁμικυκλίῳ ἴσαι·
실제로 ΓΔ가 점 Η에서 이등분되고, Η를 지나 원의 지름 ΕΖ가 ΑΒ에 평행하게 그어졌다고 하자. 그렇다면 호 ΕΓ는 호 ΕΑ, ΑΔ［의 합］와 같으므로, 따라서 호 ΓΖ, ΕΑ, ΑΔ［의 합］는 반원과 같을 것이다.
ἔστι δὲ περιφέρεια ἁ ΕΑ περιφερείᾳ τᾷ ΒΖ ἴσα·
그리고 호 ΕΑ는 호 ΒΖ와 같다.
συναμφότερος ἄρα περιφέρεια ἁ ΓΒ, Α△ ἁμικυκλίῳ ἐστὶν ἴσα·
따라서 둘을 합한 호 ΓΒ, ΑΔ［의 합］는 반원과 같다.
λοιπὴ ἄρα περιφέρεια ἁ ΑΓ, △Β ἁμικυκλίῳ ἐστὶν ἴσα δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
따라서 남은 호 ΑΓ, ΔΒ［의 합］ 또한 반원과 같다. 그러므로 증명하고자 하는 바가 증명되었다.
§10## ι΄.
## ι΄.
Εἴ κα ᾖ κύκλος καὶ δύο εὐθεῖαι αἱ △Α, △Γ ἐπιψαύουσαι αὐτοῦ κατὰ τὰ Α, Γ σαμεῖα, τέμνουσα δὲ εὐθεῖα ἁ △Β, ἀχθῇ δὲ ἁ ΕΓ παρὰ τὰν Β△, ἐπιζευχθῇ δὲ ἁ ΕΑ τέμνουσα τὰν △Β κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΕΓ ἀχθῇ ἁ ΖΗ, ἁ ἀγμένα τὰν ΕΓ δίχα τέμνει.
만약 원이 있고 두 직선 ΔΑ, ΔΓ가 점 Α, Γ에서 그것에 접하며, 할선 ΔΒ가 있고, ΕΓ가 ΒΔ에 평행하게 그어지며, ΕΑ가 연결되어 ΔΒ와 점 Ζ에서 교차하고, Ζ로부터 ΕΓ에 수직으로 ΖΗ가 그어진다면, 그 그어진［직선 ΖΗ］은 ΕΓ를 이등분한다.
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΑΓ. Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἁ △Α ἐπιψαύουσα τοῦ κύκλου ἐστίν, ἁ δὲ ΑΓ τέμνουσα αὐτόν, γωνία ἁ ὑπὸ △ΑΓ τᾷ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμάματι τοῦ κύκλου γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΑΕΓ, τουτέστι τᾷ ὑπὸ ΑΖ△, ἐστὶν ἴσα.
실제로 ΑΓ가 연결되었다고 하자. 그렇다면 직선 ΔΑ는 원의 접선이고 ΑΓ는 원을 자르는 선(현)이므로, 각 ΔΑΓ는 원의 교대 활꼴 안의 각 ΑΕΓ, 즉 ΑΖΔ와 같다.
Ἔστι γὰρ ἁ ΓΕ παρὰ τὰν Β△.
실제로 ΓΕ는 ΒΔ에 평행하다.
Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς △ΑΖ, ΑΘ△ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΖ△, ΘΑ△ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, γωνία δὲ ἁ πρὸς τῷ △ κοινά, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Ζ△, △Θ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῷ ἀπὸ τᾶς △Α, τουτέστι τῷ ἀπὸ τᾶς △Γ τετραγώνῳ, ἐστὶν ἴσον ἐπεὶ οὖν ὃν λόγον ἔχει ἁ Ζ△ ποτὶ τὰν △Γ, τοῦτον ἔχει καὶ ἁ △Γ ποτὶ τὰν △Θ, γωνία δὲ ἁ ποτὶ τὸ △ σαμεῖον κοινά ἐστιν, τρίγωνα ἄρα τὰ △ΖΓ, △ΓΘ ἐστὶν ὅμοια καὶ γωνίαι αἱ ὑπὸ △ΖΓ, △ΓΘ, △ΑΘ, ΑΖ△ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί·
그리고 두 삼각형 ΔΑΖ, ΑΘΔ에서 두 각 ΑΖΔ, ΘΑΔ는 서로 같고 Δ에서의 각은 공통이므로, 따라서 ΖΔ, ΔΘ에 의해 둘러싸인 직사각형은 ΔΑ 위의 정사각형, 즉 ΔΓ 위의 정사각형과 같다. 그렇다면 ΖΔ의 ΔΓ에 대한 비는 ΔΓ의 ΔΘ에 대한 비와 같고, 또한 점 Δ에서의 각은 공통이므로, 삼각형 ΔΖΓ, ΔΓΘ는 닮음이며, 각 ΔΖΓ, ΔΓΘ, ΔΑΘ, ΑΖΔ는 서로 같다.
ἔστι δὲ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ △ΖΓ τᾷ ὑπὸ ΖΓΕ ἴσα·
또한 각 ΔΖΓ는 각 ΖΓΕ와 같다.
ἦν δὲ καὶ ἁ ὑπὸ △ΖΑ τᾷ ὑπὸ ΑΕΓ ἴσα ἐν δυσὶ τριγώνοις ἄρα τοῖς ΕΗΖ, ΓΗΖ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΗΕΖ, ΗΓΖ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντὶ καὶ αἱ ποτὶ τῷ Η σαμείῳ γωνίαι ὀρθαί·
그리고 각 ΔΖΑ 또한 각 ΑΕΓ와 같았다. 따라서 두 삼각형 ΕΗΖ, ΓΗΖ에서 두 각 ΗΕΖ, ΗΓΖ는 서로 같고 점 Η에서의 각들은 직각이다.
ἔστι ὲ πλευρὰ ἁ ΗΖ κοινά ἔστιν ἄρα ἁ ΕΗ τᾷ ΗΓ ἴσα·
그리고 변 ΗΖ는 공통이다. 그러므로 ΕΗ는 ΗΓ와 같다.
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
그러므로 증명하고자 하는 바가 증명되었다.