§4## δ΄. Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ σαμεῖόν·
## δ΄.
τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου ᾖ, γραφέωντι δὲ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἁμικύκλια ἐντός, ἀναστακῇ δὲ ἀπὸ τοῦ λαφθέντος σαμείου εὐθεῖα ποτὶ τᾷ περιφερείᾳ τᾷ διαμέτρῳ ποτʼ ὀρθάς, σχῆμα τὸ ὑπὸ τῶν τριῶν περιφερειῶν περιεχόμενον ἴσον ἐστὶ κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ ἀναστακεῖσα κάθετος.
만약 반원에서 지름 위에 임의의 점이 있고, 지름의 분절들로부터 안쪽으로 두 반원이 그려지며, 그 잡힌 점으로부터 지름에 수직이고 원주에 닿는 직선이 세워진다면, 세 원주에 의해 둘러싸인 도형은 그 세워진 수선을 지름으로 하는 원과 같다.
Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒΓ καὶ σαμεῖόν τι ἐπὶ διαμέτρου τᾶς ΑΓ τὸ △, καὶ ἀπὸ διαμέτρων τῶν Γ△, △Α ἁμικύκλια ἀναγεγράφθων ἐντός, ἀπὸ δὲ τοῦ △ σαμείου ἀνεστακέτω ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΑΓ ἁ △Β φαμὶ δή, σχῆμα τὸ ὑπὸ τῶν τριῶν περιφερειῶν περιεχόμενον, τουτέστι τοῦ μείζονος ἁμικυκλίου καὶ τῶν δύο ἀναγραφέντων ἐντός, ὅπερ Et ἄρβηλος καλείσθω, κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ △Β, ἴσον ἐστίν.
반원 ABΓ가 있고, 지름 AΓ 위의 한 점 Δ가 있으며, 지름 ΓΔ, ΔA로부터 안쪽으로 반원들이 그려져 있다고 하자. 그리고 점 Δ로부터 AΓ에 수직으로 ΔB가 세워져 있다고 하자. 이때 세 원주에 의해 둘러싸인 도형, 즉 더 큰 반원과 안쪽에 그려진 두 반원에 의해 둘러싸인 도형(이것은 아르벨로스라 불리도록 하자)은 ΔB를 지름으로 하는 원과 같다고 나는 주장한다.
Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖαι αἱ △Α, △Β, △Γ ἑξῆς ἀνάλογόν ἐντι, ἐσσεῖται τὸ ὑπὸ τῶν Α△, △Γ τῷ ἀπὸ τᾶς Β△ ἴσον·
왜냐하면 직선 ΔA, ΔB, ΔΓ는 연속비례하므로, AΔ, ΔΓ에 의한 직사각형은 BΔ 위의 정사각형과 같다.
κοινὸν ποτικείσθω τὸ ὑπὸ τῶν Α△, △Γ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν Α△, △Γ·
공통으로 AΔ, ΔΓ에 의한 직사각형과 AΔ, ΔΓ 위의 정사각형들이 더해지도록 하자.
τὸ ἄρα ἀπὸ τᾶς ὅλας τετράγωνον, τουτέστι τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΓ, τοῖς ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ἀπὸ τῶν Α△, △Γ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς Β△ ἐστὶν ἴσον.
그러므로 전체(AΓ) 위의 정사각형은 분절 AΔ, ΔΓ 위의 정사각형들과 BΔ 위의 정사각형의 두 배의 합과 같다.
Καὶ ἐπεὶ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλάλους ὡς τὰ ἀπὸ τᾶν διαμέτρων τετράγωνά ἐντι, ἐσσεῖται δὴ κύκλος, οὗ διάμετρος ἁ ΑΓ, δυσὶ κύκλοις, ὧν διάμετρος ἁ △Β, καὶ δυσὶ κύκλοις, ὧν διάμετροι αἱ Α△, △Γ, ἴσος, τουτέστιν ἁμικύκλιον τὸ ΑΓ ἴσον κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ △Β, καὶ δυσὶν ἁμικυκλίοις, ὧν διάμετροι αἱ Α△, △Γ·
그리고 원들은 서로에 대해 지름 위의 정사각형들의 비율을 가지므로, 지름이 AΓ인 원은 지름이 ΔB인 두 원과 지름이 AΔ, ΔΓ인 두 원의 합과 같다. 즉, 반원 AΓ는 지름이 ΔB인 원과 지름이 AΔ, ΔΓ인 두 반원의 합과 같다.
κοινὸν ἀφαιρήσθω ἁμικύκλια τὰ Α△, △Γ·
공통인 반원 AΔ, ΔΓ를 빼도록 하자.
λοιπὸν ἄρα χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπὸ περιφερειῶν τᾶν ΑΓ, Α△, △Γ, ὅπερ ἄρβηλος καλεῖται, κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ △Β, ἐστὶν ἴσον·
그러므로 남은 원주 AΓ, AΔ, ΔΓ에 의해 둘러싸인 영역(이것은 아르벨로스라 불린다)은 지름이 ΔB인 원과 같다.
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
그러므로 증명하고자 하는 바가 증명되었다.
§5## ε΄.
## ε΄.
Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ σαμεῖόν τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου ᾖ, καὶ γραφέωντι ἀπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἁμικύκλια ἐντός, ἀναστακῇ δὲ ἀπὸ τοῦ σαμείου εὐθεῖα τᾷ διαμέτρῳ ποτ᾿ ὀρθάς, καὶ δύο κύκλοι γραφέωντι ἐπʼ ἀμφότερα τᾶς ἀνεστακούσας ἐπιψαύοντες αὐτᾶς καὶ τῶν ἁμικυκλίων, οἱ γραφέντες κύκλοι ἐσσοῦνται ἀλλάλοις ἴσοι.
만약 반원에서 지름 위에 임의의 점이 있고, 지름의 분절들로부터 안쪽으로 두 반원이 그려지며, 그 점으로부터 지름에 수직인 직선이 세워지고, 세워진 직선의 양쪽에 두 원이 그려져 그 직선 및 반원들과 접한다면, 그려진 원들은 서로 같다.
Ἔστω ἁμικύκλιον, οὗ διάμετρος ἁ ΑΒ, σαμεῖον δέ τι ἐπʼ αὐτᾶς τὸ Γ·
지름이 AB인 반원이 있고, 그 위의 한 점을 Γ라 하자.
ἀναγεγράφθω δὲ ἀπὸ τμαμάτων τῶν ΑΓ, ΓΒ ἁμικύκλια ἐντός, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σαμείου ἀνεστακέτω ποτʼ ὀρθὰς διαμέτρω τᾷ ΑΒ ἁ Γ△, γεγράφθων δὲ δύο κύκλοι ἐπʼ ἀμφότερα τᾶς ἀνεστακούσας εὐθείας ἐπιψαύοντες τᾶς τε ἀνεστακούσας καὶ τῶν ἁμικυκλίων·
분절 AΓ, ΓB로부터 안쪽으로 반원들이 그려져 있고, 점 Γ로부터 지름 AB에 수직으로 ΓΔ가 세워져 있으며, 세워진 직선의 양쪽에 두 원이 그려져 그 직선 및 반원들과 접하고 있다고 하자.
φαμὶ δή, οἱ γραφέντες κύκλοι ἴσοι ἀλλάλοις ἐντί.
이때 그려진 원들은 서로 같다고 나는 주장한다.
Ἔστω γὰρ πρότερον κύκλος ὁ ἐπιψαύων τᾶς Γ△ κατὰ τὸ Ε σαμεῖον καὶ ἁμικυκλίου μὲν τοῦ ΑΓ κατὰ τὸ H, ἁμικυκλίου δὲ τοῦ ΑΒ κατὰ τὸ Ζ, ἄχθω δὲ διάμετρος τοῦ κύκλου ἁ ΘΕ·
왜냐하면 우선 점 E에서 ΓΔ와 접하고, 반원 AΓ와는 H에서, 반원 AB와는 Z에서 접하는 원이 있다고 하고, 그 원의 지름을 ΘE라 하자.
ἐπιζευχθεῖσαι δὴ αἱ ΑΘ, ΘΖ εὐθεῖαι ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας, ἐκβληθεῖσαι δὲ αἱ ΑΖ, ΓΕ εὐθεῖαι συμβαλέτωσαν κατὰ τὸ △ σαμεῖον ὁμοίως δὴ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΖΕ, ΕΒ ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας, καὶ αἱ ΘΗ, ΗΓ, καὶ αἱ ΕΗ. ΗΑ, ἐκβεβλήσθω δὲ ἁ ΑΕ ἐπὶ τὸ Ι σαμεῖον, ἄχθω δὲ ἁ ΒΙ εὐθεῖα καὶ ἁ Ζ△.
그렇다면 연결된 직선 AΘ, ΘZ는 서로 일직선상에 있을 것이며, 연장된 직선 AZ, ΓE는 점 Δ에서 만난다고 하자. 마찬가지로 연결된 ZE, EB는 서로 일직선상에 있을 것이며, ΘH, HΓ도, 그리고 EH, HA도 그러하다. AE가 점 I까지 연장되도록 하고, 직선 BI와 ZΔ가 그어지도록 하자.
Ἐπεὶ οὖν αἱ Α△, ΑΒ εὐθεῖαί ἐντι καὶ ἀπὸ τοῦ △ σαμείου τᾷ ΑΒ ἆκται ποτʼ ὀρθὰς ἁ △Γ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ποτʼ ὀρθὰς τᾷ △Α ἁ ΒΖ τέμνουσα τὰν △Γ Bl, κατὰ τὸ Ε, εὐθεῖα δὲ ἁ ΑΕΙ ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΒΙ ἐστίν, ἐσσοῦνται ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΙ, Ι△ ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας, ὡς παῤ ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ ὀρθογωνίων τριγώνων δέδεικται Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἁ Β△ παρὰ τὰν ΓΗ ἐστίν, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ Α△ ποτὶ τὰν △Θ, ὃν ἔχει ἁ ΑΓ ποτὶ τὰν ΘΕ, τουτέστιν ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΓ τὸ ἄρα ὑπὸ τᾶν ΑΓ, ΓΒ τῷ ὑπὸ τᾶν ΑΒ, ΘΕ ἐστὶν ἴσον·
그렇다면 AΔ, AB는 직선이고, 점 Δ로부터 AB에 수직으로 ΔΓ가 그어졌으며, B로부터 ΔA에 수직으로 BZ가 그어져 ΔΓ를 점 E에서 교차(Bl)하고 있고, 직선 AEI는 BI에 수직이므로, 직선 BI, IΔ는 서로 일직선상에 있을 것이다. 이는 우리에 의해 『직각삼각형에 관하여』에서 증명된 바와 같다. 그리고 직선 BΔ는 ΓH에 평행하므로, AΔ의 ΔΘ에 대한 비는 AΓ의 ΘE에 대한 비, 즉 AB의 BΓ에 대한 비와 같다. 그러므로 AΓ, ΓB에 의한 직사각형은 AB, ΘE에 의한 직사각형과 같다.
ὅμοίως δὴ δείξομες ὅτι ἐν κύκλῳ τῷ ΛΜΝ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΓ, ΓΒ τῷ ὑπὸ ΑΒ καὶ τᾶς διαμέτρου τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἴσον ἐστίν·
마찬가지로 원 ΛΜΝ에서도 AΓ, ΓB에 의한 직사각형이 AB와 원 ΛΜΝ의 지름에 의한 직사각형과 같음을 보일 것이다.
αἱ διάμετροι ἄρα κύκλων τῶν ἴσαι ἐντί, τουτέστιν οἱ δύο κύκλοι ἴσοι ἐντί·
따라서 원들의 지름은 같다. 즉, 두 원은 같다.
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
그러므로 증명하고자 하는 바가 증명되었다.