§1## α΄. Εἴ κα ᾗ δύο κύκλοι ἐπιψαύοντες ἀλλάλων ἐντός, διάμετροι δὲ αὐτῶν παράλληλοι, ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ἀπὸ τοῦ σαμείου ἁφῆς καὶ τῶν περάτων τῶν διαμέτρων δύο εὐθεῖαι ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας.
## α΄. もし2つの円が互いに内接し、それらの直径が平行であるならば、接点と直径の端点から結ばれた2つの直線は、互いに一直線上にある。
Ἔστωσαν δύο κύκλοι, ὧν κέντρα τὰ Ζ, Η, ἐπιψαύοντες ἀλλάλων κατὰ τὸ Ε σαμεῖον, διάμετρος δὲ ἁ ΑΒ παρὰ διάμετρον τὰν Γ△·
2つの円があり、それらの中心を Z, H とし、点 E において互いに接しているとする。 また、直径 AB は直径 ΓΔ に平行であるとする。
φαμὶ δή, ἐπιζευχθεῖσαι αἱ Ε△, △Β εὐθεῖαι ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας.
このとき、結ばれた直線 EΔ, ΔB は互いに一直線上にあると私は主張する。
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΖΗ καὶ ἐκβεβλήσθω ποτὶ τὸ Ε, ἄχθω δὲ ἁ △Θ παρὰ τὰν ΖΗ.
Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖαι αἱ ΖΒ, ΖΕ ἴσαι ἐντὶ καὶ ἁ H△ τᾷ ΖΘ, κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ΖΘ, τουτέστιν ἁ ΗΕ·
なぜなら、ZHが結ばれ、Eに向けて延長され、ΔΘがZHに平行に引かれるとせよ。 さて、直線 ZB, ZE は等しく、かつ HΔ は ZΘ（すなわち HE）に等しいから、共通のものとして ZΘ、すなわち HE が引かれよ。
λοιπαὶ ἄρα εὐθεῖαι αἱ Θ△, ΘΒ ἴσαι ἀλλαλαις ἐντί·
したがって、残りの直線 ΘΔ, ΘB は互いに等しい。
γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ Θ△Β γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΘΒ△, τουτέστιν τᾷ ὑπὸ H△Ε, ἐστὶν ἴσα·
したがって、角 ΘΔB は角 ΘBΔ、すなわち角 HΔE に等しい。
κοινὰ ποτικείσθω γωνία ἁ ὑπὸ H△Β συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ H△Β, △ΒΖ συναμφοτέρῳ τᾷ ὑπὸ Η△Β. Ε△Η ἐστὶν ἴσα·
共通のものとして角 HΔB が加えられよ。 したがって、角 HΔB と ΔBZ の和は、角 HΔB と EΔH の和に等しい。
ἔστι δὲ συναμφότερος ἁ ὑπὸ Η△Β, △ΒΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσα·
ところで、角 HΔB と ΔBZ の和は2直角に等しい。
συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ Η△Β, Ε△Η δυσὶν ὀρθαῖς ἐστιν ἴσα·
したがって、角 HΔB と EΔH の和も2直角に等しい。
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐντὶ εὐθεῖαι αἱ Ε△, △Β·
ゆえに、直線 EΔ, ΔB は一直線上にある。
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
したがって、提示されたことは示された。
§2## β΄. Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒΓ καὶ δύο εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι αὐτοῦ αἱ △Β, △Γ, ἁ δὲ ΒΕ ἄχθω ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΑΓ, ἐπεζεύχθω δὲ ἁ Α△·
## β΄. 半円 ΑΒΓ があり、それに接する2つの直線 ΔB, ΔΓ があり、BE は AΓ に垂直に引かれ、AΔ が結ばれているとする。
φαμὶ δὴ τὰν ΒΖ ἴσαν εἶμεν τᾷ ΖΕ.
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΑΒ καὶ ἐκβληθεῖσαι αἱ ΑΒ, Γ△ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η σαμεῖον καὶ ἄχθω ἁ ΒΓ.
Ἐπεὶ οὖν γωνία ἁ ὑπὸ ὀρθά ἐστιν, ἐσσεῖται καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΓΒΗ ὀρθά ἔστι δὲ καὶ εὐθεῖα ἁ Β△ τᾷ △Γ ἴσα·
このとき、BZ は ZE に等しいと私は主張する。 なぜなら、AB が結ばれ、延長された AB, ΓΔ が点 H において交わるとせよ。 そして BΓ が引かれよ。 さて、角 ABΓ は直角であるから、角 ΓBH もまた直角である。 また、直線 BΔ は ΔΓ に等しい。
ἐσσεῖται ἄρα καὶ εὐθεῖα ἁ △Η τᾷ △Β, τουτέστι τᾷ △Γ ἴσα.
したがって、直線 ΔH もまた ΔB、すなわち ΔΓ に等しい。
Καὶ ἐπεὶ ἁ ΒΕ παρὰ τὰν ΗΓ ἐστίν, ἐσσεῖται ἄρα καὶ ἁ ΒΖ τᾷ ΖΕ ἴσα·
そして、BE は HΓ に平行であるから、したがって BZ もまた ZE に等しい。
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
ゆえに、提示されたことは示された。
§3## γ΄. Ἔστω τμᾶμα κύκλου τὸ ΑΓ καὶ ἀπὸ σαμείου τινος Β τᾶς περιφερείας ἄχθω τᾷ ΑΓ ποτ᾿ ὀρθὰς ἁ Β△, λελάφθω δὲ εὐθεῖα ἁ △Ε εὐθείᾳ τᾷ △Α ἴσα καὶ περιφέρεια ἁ ΒΖ τᾷ ΑΒ·
## γ΄. 円の弓形 AΓ があり、弧の上の任意の点 B から AΓ に垂直に BΔ が引かれているとし、直線 ΔE が直線 ΔA に等しく、かつ弧 BZ が弧 AB に等しく取られているとする。
φαμὶ δή, ἐπιζευχθεῖσα ἁ ΓΖ εὐθεῖα τᾷ ΓΕ ἐστὶν ἴσα.
このとき、結ばれた直線 ΓZ は ΓE に等しいと私は主張する。
Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΖ, ΖΕ, ΕΒ εὐθεῖαι·
なぜなら、直線 AB, BZ, ZE, EB が結ばれよ。
καὶ ἐπεὶ ἁ Α△ τᾷ △Ε ἐστὶν ἴσα, κοινὰ δὲ ἁ Β△, δύο δὴ αἱ Α△, △Β δυσὶ ταῖς Ε△, △Β ἑκατέρα ἑκατέρᾳ ἴσαι ἐντί·
そして、AΔ は ΔE に等しく、BΔ は共通であるから、2つの直線 AΔ, ΔB は、それぞれ2つの直線 EΔ, ΔB に等しい。
ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Β γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ Ε△Β ἴσα βάσις ἄρα ἁ ΕΒ βάσει τᾷ ΑΒ, τουτέστι τᾷ ΒΖ, ἐστὶν ἴσα γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΒΕΖ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΒΖΕ ἐστὶν ἴσα.
また、角 AΔB は角 EΔB に等しい。 したがって、底辺 EB は底辺 AB、すなわち BZ に等しい。 したがって、角 BEZ は角 BZE に等しい。
Καὶ ἐπεὶ τετράπλευρον τὸ ΑΒΖΓ ἐν κύκλῳ ἐστίν, γωνίαι αἱ ἀπεναντίον αἱ ὑπὸ ΓΖΒ, ΓΑΒ, τουτέστιν αἱ ὑπὸ ΓΖΒ, ΒΕΑ, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί.
また、四角形 ABZΓ は円に内接しているから、対角である ΓZB と ΓAB、すなわち ΓZB と BEA の和は2直角に等しい。
Ἔστι δὲ καὶ συναμφότερος ἁ ὑπὸ ΓΕΒ, ΒΕΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσα κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ὑπὸ ΒΕΑ γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΓΖΒ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΓΕΒ ἐστὶν ἴσα κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ὑπὸ ΒΖΕ, τουτέστιν ἁ ὑπὸ ΒΕΖ·
ところで、角 ΓEB と BEA の和もまた2直角に等しい。 共通のものとして角 BEA が引かれよ。 したがって、角 ΓZB は角 ΓEB に等しい。 共通のものとして角 BZE、すなわち角 BEZ が引かれよ。
λοιπαὶ ἄρα αἱ ποτὶ τᾷ βάσει τᾷ ΕΖ τριγώνου τοῦ ΕΓΖ· γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΖΕ, ΖΕΓ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί·
したがって、三角形 EΓZ の底辺 EZ に対する残りの角、すなわち角 ΓZE と ZEΓ は互いに等しい。
πλευρὰ ἄρα ἁ ΖΓ πλευρᾷ τᾷ ΕΓ ἐστὶν ἴσα δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
ゆえに、辺 ZΓ は辺 EΓ に等しい。 したがって、提示されたことは示された。