§11## ιά.
## ια΄.
Εἴ κα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωντι ἀλλάλας ποτʼ ὀρθὰς μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, τὰ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν εὐθειῶν τετράγωνα τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐντί.
만약 원 안에서 중심을 지나지 않는 두 직선이 서로 직각으로 교차한다면, 그 직선들의 선분들 위의 정사각형들［의 합］은 원의 지름 위의 정사각형과 같다.
Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Γ△ τετμάσθων ποτʼ ὀρθὰς κατὰ τὸ Ε σαμεῖον·
실제로 원 ΑΒΓ가 있고, 두 직선 ΑΒ, ΓΔ가 점 Ε에서 직각으로 교차하고 있다고 하자.
φαμὶ δή, τὰ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, Ε△ τετράγωνα τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐστίν.
이때 선분 ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, ΕΔ 위의 정사각형들［의 합］은 원의 지름 위의 정사각형과 같다고 나는 주장한다.
Ἄχθω γὰρ διάμετρος τοῦ induoκύκλου ἁ ΑΖ καὶ ἐπεζεύχθων αἱ ΑΓ, Α△, ΓΖ, △Β εὐθεῖαι.
실제로 원의 지름 ΑΖ가 그어지고, 직선 ΑΓ, ΑΔ, ΓΖ, ΔΒ가 연결되었다고 하자.
Ἐπεὶ οὖν ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς Α△Ε, ΑΖΓ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΕ△, Α△Ε, καὶ ΑΓΖ, ΑΖΓ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντὶ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, λοιπαὶ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΖ, △ΑΕ ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἴσαι·
그렇다면 두 삼각형 ΑΔΕ, ΑΖΓ에서 각 ΑΕΔ, ΑΔΕ 및［각］ ΑΓΖ, ΑΖΓ가 각각 다른 하나에 서로 같으므로, 남은 각 ΓΑΖ, ΔΑΕ는 서로 같을 것이다.
περιφέρειαι ἄρα αἱ ΓΖ, △Β ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, καὶ αἱ ταύτας ὑποτείνουσαι εὐθεῖαι αἱ ΓΖ, △Β ἔστι δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν △Ε, ΕΒ τῷ ἀπὸ τᾶς △Β, τουτέστι τῷ ἀπὸ τᾶς ΓΖ, ἴσον, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ τῷ ἀπὸ τᾶς ΓΑ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΓΑ τῷ ἀπὸ τᾶς ΖΑ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου, ἴσα·
따라서 호 ΓΖ, ΔΒ는 서로 같고, 이것들을 대하는 직선 ΓΖ, ΔΒ 또한［서로 같다］. 또한 ΔΕ, ΕΒ 위의 정사각형들［의 합］은 ΔΒ 위의 정사각형, 즉 ΓΖ 위의 정사각형과 같고, ΑΕ, ΕΓ 위의 정사각형들［의 합］은 ΓΑ 위의 정사각형과 같으며, ΓΖ, ΓΑ 위의 정사각형들［의 합］은 ΖΑ 위의 정사각형, 즉 지름 위의 정사각형과 같다.
ἐσσοῦνται ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, Ε△ τετράγωνα τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου ἴσα δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
따라서 선분 ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, ΕΔ 위의 정사각형들［의 합］은 지름 위의 정사각형과 같을 것이다. 그러므로 증명하고자 하는 바가 증명되었다.
§12## ιβ΄.
## ιβ΄.
Εἴ κα ἐκ σαμείου ἐκτὸς ἁμικυκλίου δύο εὐθεῖαι ἀχθέωντι ἐπιψαύουσαι αὐτοῦ, ἀχθέωντι δὲ ἐκ τῶν σαμείων ἁφᾶς δύο εὐθεῖαι ποτὶ τὰ ἀπεναντίον πέρατα τᾶς διαμέτρου τέμνουσαι ἀλλάλας, ἁ ἐκ τοῦ ἐκτὸς σαμείου ποτὶ τὸ σαμεῖον τομᾶς τῶν δύο εὐθειῶν ἀχθεῖσα καὶ ἐκβληθεῖσα ποτὶ τὰν διάμετρον ἐσσεῖται ταύτᾳ ποτʼ ὀρθάς.
만약 반원 밖의 점으로부터 그것에 접하는 두 직선이 그어지고, 그 접점들로부터 지름의 마주 보는 끝점들로 두 직선이 그어져 서로 교차한다면, 밖의 점으로부터 두 직선의 교점으로 그어지고 지름까지 연장된 직선은 이것과 직각으로 교차할 것이다.
Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒ, σαμεῖον δὲ τι ἐκτὸς αὐτοῦ τὸ Γ, καὶ ἐκ τοῦ Γ ἄχθων δύο εὐθεῖαι αἱ Γ△, ΓΕ ἐπίψαύουσαι αὐτοῦ κατὰ τὰ △, Ε σαμεῖα, ἐπεζεύχθων δὲ ἐκ τῶν σαμείων ἁφᾶς ποτὶ τὰ ἀπεναντίον πέρατα τᾶς διαμέτρου τὰ Α, Β εὐθεῖαι αἱ ΕΑ, △Β τέμνουσαι ἀλλάλας κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀχθεῖσα ἁ ΓΖ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η σαμεῖον φαμὶ δή, εὐθεῖα ἁ ΓΗ διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ἐσσεῖται ποτʼ ὀρθάς.
반원 ΑΒ가 있고, 그 밖의 어떤 점을 Γ라 하자. 그리고 Γ로부터 두 직선 ΓΔ, ΓΕ가 점 Δ, Ε에서 그것에 접하도록 그어졌다고 하자. 또한 접점들로부터 지름의 마주 보는 끝점들 Α, Β로 직선 ΕΑ, ΔΒ가 연결되어 서로 점 Ζ에서 교차하고 있으며, 그어진 ΓΖ가 점 Η까지 연장되었다고 하자. 이때 직선 ΓΗ는 지름 ΑΒ와 직각으로 교차할 것이라고 나는 주장한다.
Ἐπεζεύχθων γὰρ αἱ Α△, ΕΒ. Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ △ΑΒ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Β ὀρθά ἐστιν, λοιπαὶ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ △ΑΒ, △ΒΑ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσαι ἐντί ἔστι δὲ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΕΒ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα κοινὰ ποτικείσθω ἁ ὑπὸ ΖΒΕ συναμφότερος ἄρα ἁ ὑπὸ △ΑΒ, ΑΒΕ συναμφοτέρῳ τᾷ ὑπὸ ΖΒΕ, ΖΕΒ, τουτέστιν ἐξωτερικᾷ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΖΕ τριγώνου τοῦ ΖΒΕ ἐστὶν ἴσα.
실제로 ΑΔ, ΕΒ가 연결되었다고 하자. 그렇다면 삼각형 ΔΑΒ의 각 ΑΔΒ는 직각이므로, 따라서 남은 각 ΔΑΒ, ΔΒΑ는 한 직각과 같다. 또한 각 ΑΕΒ 또한 한 직각과 같다. ［각］ ΖΒΕ가 공통인 것으로서 더해졌다고 하자. 따라서 각 ΔΑΒ, ΑΒΕ의 합은 ［각］ ΖΒΕ, ΖΕΒ의 합, 즉 삼각형 ΖΒΕ의 외각인 ［각］ ΔΖΕ와 같다.
Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἁ Γ△ ἐπιψαύουσα τοῦ κύκλου ἐστίν, διᾶκται δὲ ἀπὸ τοῦ σαμείου ἁφᾶς τοῦ κλου ἁ △Β τέμνουσα τὸν κύκλον, ἐσσεῖται γωνία ἁ ὑπὸ Γ△Β γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΑΒ ἴσα διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΓΕΖ τᾷ ὑπὸ ΕΒΑ ἐστὶν ἴσα καὶ συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΓΕΖ, Γ△Ζ τᾷ ὑπὸ △ΖΕ ἐστὶν ἴσα καὶ δέδεικται παῤ ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ τετραπλεύρων ὅτι εἴ κα μεταξὺ δύο ἰσᾶν εὐθειᾶν τεμνομενᾶν, οἷον τᾶν Γ△, ΓΕ, δύο εὐθεῖαι ἀχθέωντι τεμνόμεναί, οἷον αἱ △Ζ, ΕΖ, γωνία δὲ ἁ ὑπὸ τούτων περιεχομὲνα, ὡς ἁ ποτὶ τῷ Ζ, συναμφοτέρῳ τᾷ ὑπὸ τῶν δύο τεμνομενᾶν εὐθειᾶν περιεχομένᾳ, ὡς αἱ ποτὶ τοῖς Ε, △ σαμείοις, ἴσα ἐστίν, ἁ ἐπιζευγνυμένα ἐκ τοῦ σαμείου καθʼ ὃ αἱ δύο εὐθεῖαι συμβάλλοντι ἐπὶ τὸ σαμεῖον καθʼ ὃ αὗται τὲμνοντι ἀλλάλας, ὡς ἁ ΓΖ εὐθεῖα, ἑκατέρᾳ τᾶν τεμνομενᾶν εὐθειᾶν, ὡς αἱ Γ△, ΓΕ, ἐστὶν ἴσα·
그리고 직선 ΓΔ는 원의 접선이고, 접점으로부터 원을 자르는 ΔΒ가 그어져 있으므로, 각 ΓΔΒ는 각 ΔΑΒ와 같을 것이다. 참으로 같은 이유로 각 ΓΕΖ 또한 ［각］ ΕΒΑ와 같다. 따라서 각 ΓΕΖ, ΓΔΖ의 합 또한 ［각］ ΔΖΕ와 같다. 그리고 우리가 『사각형에 관하여』에서 증명한 바와 같이, 만약 교차하는 두 개의 같은 직선, 이를테면 ΓΔ, ΓΕ 사이에 교차하는 두 직선, 이를테면 ΔΖ, ΕΖ가 그어지고, 이들에 의해 둘러싸인 각, 이를테면 Ζ에서의 각이, 그 교차하는 두 직선에 의해 둘러싸인 두 각의 합, 이를테면 점 Ε, Δ에서의 각들의 합과 같다면, 두 직선이 만나는 점으로부터 이들이 서로 교차하는 점으로 연결된 직선, 이를테면 직선 ΓΖ는 교차하는 직선들 중 어느 하나, 이를테면 ΓΔ, ΓΕ 각각과 같다.
ἁ ΓΖ εὐθεῖα ἄρα τᾷ Γ△ ἐστὶν ἴσα καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΓΖ△ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ Γ△Ζ, τουτέστι τᾷ ὑπὸ △ΑΗ·
그러므로 직선 ΓΖ는 ΓΔ와 같다. 또한 각 ΓΖΔ 역시 각 ΓΔΖ, 즉 ［각］ ΔΑΗ와 같다.
γωνίαι δὲ αἱ ὑπὸ ΓΖ△, △ΖΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί·
또한 각 ΓΖΔ, ΔΖΗ는 두 직각과 같다.
συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ △ΑΗ, △ΖΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσα ἐστίν·
따라서 각 ΔΑΗ, ΔΖΗ의 합 역시 두 직각과 같다.
λοιπαὶ ἄρα γωνίαι τετραπλεύρου τοῦ Α△ΖΗ αἱ ὑπὸ Α△Ζ, ΑΗΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί·
따라서 사각형 ΑΔΖΗ의 남은 각들인 ΑΔΖ, ΑΗΖ［의 합］는 두 직각과 같다.
ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Β μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΑΗΓ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα ἐστίν·
그리고 각 ΑΔΒ는 한 직각과 같다. 그러므로 각 ΑΗΓ는 한 직각과 같다.
ἔστιν ἄρα εὐθεῖα ἁ △Η διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ποτʼ ὀρθάς·
따라서 직선 ΔΗ는 지름 ΑΒ와 직각으로 교차한다.
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
그러므로 증명하고자 하는 바가 증명되었다.