§1#3μὲν γᾶς τὸ Θ, τοῦ δὲ ἁλίου τὸ Κ, ὄψις δὲ ἔστω τὸ △, καὶ ἄχθωσαν εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι τοῦ ΣΗ κύκλου ἀπὸ μὲν τοῦ △ αἱ △Λ, △Ξ, ἐπιψαυόντων δὲ κατὰ τὸ Ν καὶ τὸ Τ, ἀπὸ δὲ τοῦ Θ αἱ ΘΜ, ΘΟ, ἐπιψαυόντων δὲ κατὰ τὸ Χ καὶ τὸ Ρ, τὸν δὲ ΑΒΓ κύκλον τεμνόντων αἱ ΘΜ, ΘΟ κατὰ τὸ Α καὶ τὸ Β ἔστι δὴ μείζων ἁ ΘΚ τᾶς △Κ, ἐπεὶ ὑπόκειται ὁ ἅλιος ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα εἶμεν·
地球の中心をΘ、太陽の中心をΚ、視点を△とし、△から円ΣΗに接する直線として△Λと△Ξを引き、それぞれΝとＴにおいて接するものとせよ。 また、 ΘからはΘΜとΘΟを引き、それぞれΧとΡにおいて接するものとし、さらにΘΜとΘΟは円ΑΒΓと ΑおよびΒにおいて交わるものとせよ。 さて、太陽は地平線の上にあると前提されているので、ΘΚは△Κよりも大きい。
ὥστε ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν △Λ, △Ξ μείζων ἐστὶ τᾶς γωνίας τᾶς περιεχομένας ὑπὸ τᾶν ΘΜ, ΘΟ, Ἁ δὲ περιεχομένα γωνία ὑπὸ τᾶν △Λ, △Ξ μείζων μὲν ἐστιν ἢ διακοσιοστὸν μέρος ὀρθᾶς, ἐλάττων δὲ ἢ τᾶς ὀρθᾶς διαιρεθείσας εἰς ρξδ τούτων ἓν μέρος·
したがって、△Λと△Ξによって挟まれる角度は、ΘΜとΘΟによって挟まれる角度よりも大きい。 ところで、△Λと△Ξによって挟まれる角度は、直角の200分の一よりも大きいが、直角を164等分したものの1部分よりも小さい。
ἴσα γάρ ἐστιν τᾷ γωνίᾳ, εἰς ἃν ὁ ἅλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει ὥστε ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΘΜ, ΘΟ ἐλάττων ἐστὶν ἢ τᾶς ὀρθᾶς διαιρεθείσας εἰς ρξδ τούτων ἓν μέρος, ἁ δὲ ΑΒ εὐθεῖα ἐλάττων ἐστὶ τᾶς ὑποτεινούσας ἓν τμᾶμα διαιρεθείσας τᾶς τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφερείας ἐς χνς΄.
なぜなら、その角度は太陽が適合する、視点に頂点を持つ角度に等しいからである。 したがって、ΘΜとΘΟによって挟まれる角度は、直角を 164等分したものの1部分よりも小さい。 また、直線ΑΒは、円ΑΒΓの円周を656等分したときの1つの弧に対する弦よりも小さい。
Α δὲ τοῦ εἰρημένου πολυγωνίου περίμετρος ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐλάττονα λόγον ἔχει ἢ τὰ μδ ποτὶ τὰ ζ διὰ τὸ παντὸς πολυγωνίου ἐγγεγραμμένου ἐν κύκλῳ τὰν περίμετρον ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου ἐλάττονα λόγον ἔχειν ἢ τὰ μδ ποτὶ τὰ ζ·
ところで、前述の多角形の周長は、円ΑΒΓの半径に対して、44対7よりも小さい比を持つ。 なぜなら、円に内接するいかなる多角形も、その周長は半径に対して44対7よりも小さい比を持つからである。
ἐπίστασαι γὰρ δεδειγμένον ὑφʼ ἁμῶν ὅτι παντὸς κύκλου ἁ περιφέρεια μείζων ἐστὶν ἢ τριπλασίων τᾶς διαμέτρου ἐλάσσονι ἢ ἑβδόμῳ μέρει, ταύτας δὲ ἐλάττων ἐστὶν ἁ περίμετρος τοῦ ἐγγραφέντος πολυγωνίου·
というのも、いかなる円の円周も直径の3倍より、直径の7分の一未満だけ大きい（すなわち3と1/7より小さい）ことが、我々によって証明されたことを、君は知っているからである。 そして、内接する多角形の周長は、この円周よりも小さい。
ἐλάττω οὖν λόγον ἔχει ἁ ΒΑ ποτὶ τὰν ΘΚ ἢ τὰ ια ποτὶ τὰ αρμη·
それゆえ、ΒΑはΘΚに対して、11対1148よりも小さい比を持つ。
ὥστε ἐλάττων ἐστὶν ἁ ΒΑ τᾶς ΘΚ ἢ ἑκατοστὸν μέρος.
したがって、ΒΑはΘΚの100分の一よりも小さい。
Τᾷ δὲ ΒΑ ἴσα ἐστὶν ἁ διάμετρος τοῦ ΣΗ κύκλου, διότι καὶ ἁ ἡμίσεια αὐτᾶς ἁ ΦΑ ἴσα ἐστὶ τᾷ ΚΡ ἰσᾶν γὰρ ἐουσᾶν τᾶν ΘΚ, ΘΑ ἀπὸ τῶν περάτων κάθετοι ἐπιζεύγνυνται ὑπὸ τὰν αὐτὰν γωνίαν·
そして、円ΣΗの直径はΒΑに等しい。 なぜなら、その半分であるΦΑが ΚΡに等しいからである。 というのも、ΘΚとΘΑが等しいので、それらの端点から、同じ角の下に垂線が引かれているからである。
δῆλον οὖν ὅτι ἁ διάμετρος τοῦ ΣΗ κύκλου ἐλάττων ἐστὶν ἢ ἑκατοστὸν μέρος τᾶς ΘΚ. Καὶ ἁ ΕΘΥ διάμετρος ἐλάττων ἐστὶ τᾶς διαμέτρου τοῦ ΣΗ κύκλου, ἐπεὶ ἐλάττων ἐστὶν ὁ △ΕΖ κύκλος τοῦ ΣΗ κύκλου·
したがって、円ΣΗの直径がΘΚの100分の一よりも小さことは明らかである。 また、直径ΕΘΥは円ΣΗの直径よりも小さい。 なぜなら、円△ΕΖは円ΣΗよりも小さいからである。
ἐλάττονες ἄρα ἐντὶ ἀμφότεραι αἱ ΘΥ, ΚΣ ἢ ἑκατοστὸν μέρος τᾶς ΘΚ·
したがって、ΘΥとΚΣの両方を合わせたものは、ΘΚの100分の一よりも小さい。
ὥστε ἁ ΘΚ ποτὶ τὰν ΥΣ ἐλάττονά λόγον ἔχει ἢ τὰ ρ ποτὶ τὰ (??)θ.
したがって、ΘΚはΥΣに対して、100対99よりも小さい比を持つ。
Καὶ ἐπεὶ ἁ μὲν ΘΚ οὐκ ἐλάττων ἐστὶ τᾶς ΘΡ, ἁ δὲ ΣΥ ἐλάττων τᾶς △Τ, ἐλάττω ἄρα κα λόγον ἔχοι ἁ ΘΡ ποτὶ τὰν △Τ ἢ τὰ ρ ποτὶ τὸ (??)θ.
そして、ΘΚはΘΡよりも小さくなく、ΣΥは△Ｔよりも小さいので、ΘΡは △Ｔに対して、100対99よりも小さい比を持つであろう。
Ἐπεὶ δὲ τῶν ΘΚΡ, △ΚΤ ὀρθογωνίων ἐόντων αἱ μὲν ΚΡ, ΚΤ πλευραὶ ἴσαι ἐντὶ, αἱ δὲ ΘΡ, △Τ ἀνίσοι καὶ μείζων ἁ ΘΡ, ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν △Τ, △Κ ποτὶ τὰν γωνίαν τὰν περιεχομέναν ὑπὸ τᾶν ΘΡ, ΘΚ μείζονα μὲν ἔχει λόγον ἢ ἁ ΘΚ ποτὶ τὰν △Κ, ἐλάττω δὲ ἢ ἁ ΘΡ ποτὶ τὰν △Τ εἰ γάρ κα δυῶν τριγώνων ὀρθογωνίων αἱ μὲν ἅτεραι πλευραὶ αἱ περὶ τὰν ὀρθὰν γωνίαν ἴσαι ἔωντι, αἱ δὲ ἅτεραι ἄνισοι, ἁ μείζων γωνία τᾶν ποτὶ ταῖς ἀνίσοις πλευραῖς ποτὶ τὰν ἐλάττονα μείζονα μὲν ἔχει λόγον ἢ ἁ μείζων γραμμὰ τᾶν ὑπὸ τὰν ὀρθὰν γωνίαν ὑποτεινουσᾶν ποτὶ τὰν ἐλάττονα, ἐλάττονα δὲ ἢ ἁ μείζων γραμμὰ τᾶν περὶ τὰν ὀρθὰν γωνίαν ποτὶ τὰν ἐλάττονα.
そして、直角三角形ΘΚΡと△ΚΤにおいて、辺ΚΡとΚΤは等しく、辺ΘΡと△Ｔは等しくなく、かつΘΡの方が大きいので、角度△Ｔ, △Κによって挟まれる角は、角度ΘΡ, ΘΚによって挟まれる角に対して、ΘΚが△Κに対するよりも大きい比を持ち、かつΘΡが△Ｔに対するよりも小さい比を持つ。 というのも、もし2つの直角三角形において、直角を挟む辺の一方が互いに等しく、他方が等しくないならば、それらの等しくない辺に接する角のうち、大きい方の角は小さい方の角に対して、直角に対する斜辺のうち大きい方の線分が小さい方の線分に対する比よりも大きい比を持ち、かつ直角を挟む辺のうち大きい方の線分が小さい方の線分に対する比よりも小さい比を持つからである。
Ὥστε ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν △Λ, △Ξ ποτὶ τὰν γωνίαν τὰν περιεχομέναν ὑπὸ τᾶν ΘΟ, ΘΜ ἐλάττω λόγον ἔχει ἢ ἁ ΘΡ ποτὶ τὰν △Τ, ἅτις ἐλάττω λόγον ἔχει ἢ τὰ ρ ποτὶ τὰ (??)θ·
したがって、△Λと△Ξによって挟まれる角は、ΘΟとΘΜによって挟まれる角に対して、 ΘΡが△Ｔに対するよりも小さい比を持ち、この比は100対99よりも小さい比を持つ。
ὥστε καὶ ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν △Λ, △Ξ ποτὶ τὰν γωνίαν τὰν περιεχομέναν ὑπὸ τᾶν ΘΜ, ΘΟ ἐλάττω λόγον ἔχει ἢ τὰ ρ ποτὶ τὰ (??)θ.
したがって、△Λと△Ξによって挟まれる角は、ΘΜとΘΟによって挟まれる角に対して、100対99よりも小さい比を持つ。
Καὶ ἐπεί ἐστιν ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν △Λ, △Ξ μείζων ἢ διακοσιοστὸν μέρος ὀρθᾶς, εἴη κα ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΘΜ, ΘΟ μείζων ἢ τᾶς ὀρθᾶς διαιρεθείσας ἐς δισμύρια τούτων (??)θ μέρεα ὥστε μείζων ἐστὶν ἢ διαιρεθείσας τᾶς ὀρθᾶς εἰς σ καὶ γ τούτων ἓν μέρος.
そして、△Λと△Ξによって挟まれる角は直角の200分の一よりも大きいので、ΘΜとΘΟによって挟まれる角は、直角を2万等分したものの99部分よりも大きいであろう。 したがって、それは直角を203等分したものの1部分よりも大きい。
Ἁ ἄρα ΒΑ μείζων ἐστὶ τᾶς ὑποτεινούσας ἓν τμᾶμα διῃρημένας τᾶς τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφερείας εἰς ωιβ.
したがって、ΒΑは、円ΑΒΓの円周を 812等分したときの1つの弧に対する弦よりも大きい。
Τᾷ δὲ ΑΒ ἴσα ἐντὶ ἁ τοῦ ἁλίου διάμετρος δῆλον οὖν ὅτι μείζων ἐστὶν ἁ τοῦ ἁλίου διάμετρος τᾶς τοῦ χιλιαγώνου πλευρᾶς.
そして、ΑΒは太陽の直径に等しい。 したがって、太陽の直径が千角形の辺よりも大きいことは明らかである。