砂粒を数えるもの

宇宙の砂粒の数とアリスタルコスの天文学的仮定

アルキメデスは、宇宙を満たす砂の数をも超える巨大な数体系の存在を幾何学的に証明しようとする。その準備段階として、サモスの アリスタルコスの宇宙モデルを紹介し、地球、月、太陽の大きさと相互の距離に関して、安全側に倒した独自の控えめな前提値を設定する。

太陽の視直径の測定実験とその上下限

アルキメデスは、太陽の視角度の測定に伴う誤差の原因が、人間の瞳孔の物理的な大きさ（幅）にあることを指摘し、細い円柱を用いた精密な測定装置の仕組みを詳述する。測定実験により、太陽の視直径が直角の164分の1（約33分）より小さく、200分の1（約27分）より大きいこと、および太陽の直径が宇宙の最大円に内接する千角形の辺より大きいことを示すための幾何学的証明に着手する。

太陽の直径と宇宙の最大円に内接する千角形の辺

地球と太陽の中心、および視点を通る平面上の幾何学的関係を用いて、太陽の直径が宇宙の最大円に内接する千角形の1辺よりも大きいことを数学的に証明する。

宇宙の直径の限界とケシ粒による砂粒の測定

宇宙の直径が地球の直径の1万倍および100億スタディオン未満であることを論証し、次いで砂粒の数とケシ粒の直径に関する基礎的な仮定とその測定実験を提示する。

巨大数を表すための命名法と数の分類

アルキメデスは、既存の命名法（一万の万倍まで）を超えて任意に巨大な数を表現するための独自のシステム（「数」のクラスと「周期」）を定義し、その応用となる等比数列の性質を導入し始める。

オクタドの区分と等比数列における指数法則

アルキメデスは、数を8つのグループ（オクタド）ごとに区切る命名法を具体的に説明し、次いで等比数列における項の乗法が指数法則（項数の足し算）に従うことを証明する。

ケシ粒の仮定に基づく様々な大きさの球の砂粒数

アルキメデスは、ケシ粒の大きさやそこに含まれる砂粒の数の仮定に基づき、直径1指の球から直径100スタディオンの球までに含まれる砂粒の数の上限を、第3章で示された等比数列の積の性質を用いて順次計算する。

1億スタディオンまでの大球に含まれる砂粒数

アルキメデスは、100スタディオンから始めて、1万スタディオン、100万スタディオン、そして最終的に1億スタディオンの直径を持つ球を想定し、それぞれに包含されうる砂粒の最大数を計算して「第六の数」の体系内に位置づける。

宇宙全体を満たす砂粒の総数の証明と結語

著者は宇宙全体の大きさを基に、通常の天文学的宇宙を模した砂の球に含まれる砂粒の数が「第七の数の1000単位」未満であることを示す。さらに、アリスタルコスの恒星天球モデルを用いた場合でも、砂粒の数は「第八の数の1000万」未満であることを証明し、ゲロン王への献辞で本論を締めくくる。