§1#3μὲν γᾶς τὸ Θ, τοῦ δὲ ἁλίου τὸ Κ, ὄψις δὲ ἔστω τὸ △, καὶ ἄχθωσαν εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι τοῦ ΣΗ κύκλου ἀπὸ μὲν τοῦ △ αἱ △Λ, △Ξ, ἐπιψαυόντων δὲ κατὰ τὸ Ν καὶ τὸ Τ, ἀπὸ δὲ τοῦ Θ αἱ ΘΜ, ΘΟ, ἐπιψαυόντων δὲ κατὰ τὸ Χ καὶ τὸ Ρ, τὸν δὲ ΑΒΓ κύκλον τεμνόντων αἱ ΘΜ, ΘΟ κατὰ τὸ Α καὶ τὸ Β ἔστι δὴ μείζων ἁ ΘΚ τᾶς △Κ, ἐπεὶ ὑπόκειται ὁ ἅλιος ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα εἶμεν·
지구의 중심을 Θ, 태양의 중심을 Κ, 시선(눈)을 △라 하고, △로부터 원 ΣΗ에 접하는 직선 △Λ, △Ξ를 그어 각각 Ν과 Τ에서 접하게 하고, Θ로부터는 ΘΜ, ΘΟ를 그어 각각 Χ와 Ρ에서 접하게 하며, ΘΜ, ΘΟ가 원 ΑΒΓ와 Α 및 Β에서 만나게 하십시오. 이제 태양이 지평선 위에 있다고 전제되어 있으므로 ΘΚ는 △Κ보다 큽니다.
ὥστε ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν △Λ, △Ξ μείζων ἐστὶ τᾶς γωνίας τᾶς περιεχομένας ὑπὸ τᾶν ΘΜ, ΘΟ, Ἁ δὲ περιεχομένα γωνία ὑπὸ τᾶν △Λ, △Ξ μείζων μὲν ἐστιν ἢ διακοσιοστὸν μέρος ὀρθᾶς, ἐλάττων δὲ ἢ τᾶς ὀρθᾶς διαιρεθείσας εἰς ρξδ τούτων ἓν μέρος·
따라서 △Λ, △Ξ에 의해 둘러싸인 각도는 ΘΜ, ΘΟ에 의해 둘러싸인 각도보다 큽니다. 한편 △Λ, △Ξ에 의해 둘러싸인 각도는 직각의 200분의 1보다 크지만, 직각을 164등분한 것의 한 부분보다 작습니다.
ἴσα γάρ ἐστιν τᾷ γωνίᾳ, εἰς ἃν ὁ ἅλιος ἐναρμόζει τὰν κορυφὰν ἔχουσαν ποτὶ τᾷ ὄψει ὥστε ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΘΜ, ΘΟ ἐλάττων ἐστὶν ἢ τᾶς ὀρθᾶς διαιρεθείσας εἰς ρξδ τούτων ἓν μέρος, ἁ δὲ ΑΒ εὐθεῖα ἐλάττων ἐστὶ τᾶς ὑποτεινούσας ἓν τμᾶμα διαιρεθείσας τᾶς τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφερείας ἐς χνς΄.
왜냐하면 그것은 태양이 꼭 들어맞는 시점에 꼭짓점을 가지는 각도와 같기 때문입니다. 따라서 ΘΜ, ΘΟ에 의해 둘러싸인 각도는 직각을 164등분한 것의 한 부분보다 작고, 직선 ΑΒ는 원 ΑΒΓ의 원주를 656등분한 것의 한 호에 대한 현보다 작습니다.
Α δὲ τοῦ εἰρημένου πολυγωνίου περίμετρος ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐλάττονα λόγον ἔχει ἢ τὰ μδ ποτὶ τὰ ζ διὰ τὸ παντὸς πολυγωνίου ἐγγεγραμμένου ἐν κύκλῳ τὰν περίμετρον ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου ἐλάττονα λόγον ἔχειν ἢ τὰ μδ ποτὶ τὰ ζ·
그리고 언급된 다각형의 둘레는 원 ΑΒΓ의 반지름에 대해 44 대 7보다 작은 비를 가집니다. 왜냐하면 원에 내접하는 모든 다각형의 둘레는 반지름에 대해 44 대 7보다 작은 비를 가지기 때문입니다.
ἐπίστασαι γὰρ δεδειγμένον ὑφʼ ἁμῶν ὅτι παντὸς κύκλου ἁ περιφέρεια μείζων ἐστὶν ἢ τριπλασίων τᾶς διαμέτρου ἐλάσσονι ἢ ἑβδόμῳ μέρει, ταύτας δὲ ἐλάττων ἐστὶν ἁ περίμετρος τοῦ ἐγγραφέντος πολυγωνίου·
임의의 원의 원주는 지름의 3배보다 지름의 7분의 1 미만만큼 더 크다는 것(즉, 3과 7분의 1보다 작다는 것)이 우리에 의해 증명되었음을 왕께서는 알고 계시기 때문이며, 내접하는 다각형의 둘레는 이 원주보다 작기 때문입니다.
ἐλάττω οὖν λόγον ἔχει ἁ ΒΑ ποτὶ τὰν ΘΚ ἢ τὰ ια ποτὶ τὰ αρμη·
그러므로 ΒΑ는 ΘΚ에 대해 11 대 1148보다 작은 비를 가집니다.
ὥστε ἐλάττων ἐστὶν ἁ ΒΑ τᾶς ΘΚ ἢ ἑκατοστὸν μέρος.
따라서 ΒΑ는 ΘΚ의 100분의 1보다 작습니다.
Τᾷ δὲ ΒΑ ἴσα ἐστὶν ἁ διάμετρος τοῦ ΣΗ κύκλου, διότι καὶ ἁ ἡμίσεια αὐτᾶς ἁ ΦΑ ἴσα ἐστὶ τᾷ ΚΡ ἰσᾶν γὰρ ἐουσᾶν τᾶν ΘΚ, ΘΑ ἀπὸ τῶν περάτων κάθετοι ἐπιζεύγνυνται ὑπὸ τὰν αὐτὰν γωνίαν·
그리고 원 ΣΗ의 지름은 ΒΑ와 같습니다. 왜냐하면 그 절반인 ΦΑ가 ΚΡ와 같기 때문입니다. ΘΚ와 ΘΑ가 같으므로 그 끝점들로부터 동일한 각도 아래에 수선들이 그려지기 때문입니다.
δῆλον οὖν ὅτι ἁ διάμετρος τοῦ ΣΗ κύκλου ἐλάττων ἐστὶν ἢ ἑκατοστὸν μέρος τᾶς ΘΚ. Καὶ ἁ ΕΘΥ διάμετρος ἐλάττων ἐστὶ τᾶς διαμέτρου τοῦ ΣΗ κύκλου, ἐπεὶ ἐλάττων ἐστὶν ὁ △ΕΖ κύκλος τοῦ ΣΗ κύκλου·
따라서 원 ΣΗ의 지름이 ΘΚ의 100분의 1보다 작다는 것은 분명합니다. 또한 지름 ΕΘΥ는 원 ΣΗ의 지름보다 작습니다. 왜냐하면 원 △ΕΖ가 원 ΣΗ보다 작기 때문입니다.
ἐλάττονες ἄρα ἐντὶ ἀμφότεραι αἱ ΘΥ, ΚΣ ἢ ἑκατοστὸν μέρος τᾶς ΘΚ·
따라서 ΘΥ와 ΚΣ 둘 다를 합한 것은 ΘΚ의 100분의 1보다 작습니다.
ὥστε ἁ ΘΚ ποτὶ τὰν ΥΣ ἐλάττονά λόγον ἔχει ἢ τὰ ρ ποτὶ τὰ (??)θ.
그러므로 ΘΚ는 ΥΣ에 대해 100 대 99보다 작은 비를 가집니다.
Καὶ ἐπεὶ ἁ μὲν ΘΚ οὐκ ἐλάττων ἐστὶ τᾶς ΘΡ, ἁ δὲ ΣΥ ἐλάττων τᾶς △Τ, ἐλάττω ἄρα κα λόγον ἔχοι ἁ ΘΡ ποτὶ τὰν △Τ ἢ τὰ ρ ποτὶ τὸ (??)θ.
그리고 ΘΚ는 ΘΡ보다 작지 않고, ΣΥ는 △Ｔ보다 작으므로, ΘΡ는 △Ｔ에 대해 100 대 99보다 작은 비를 가질 것입니다.
Ἐπεὶ δὲ τῶν ΘΚΡ, △ΚΤ ὀρθογωνίων ἐόντων αἱ μὲν ΚΡ, ΚΤ πλευραὶ ἴσαι ἐντὶ, αἱ δὲ ΘΡ, △Τ ἀνίσοι καὶ μείζων ἁ ΘΡ, ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν △Τ, △Κ ποτὶ τὰν γωνίαν τὰν περιεχομέναν ὑπὸ τᾶν ΘΡ, ΘΚ μείζονα μὲν ἔχει λόγον ἢ ἁ ΘΚ ποτὶ τὰν △Κ, ἐλάττω δὲ ἢ ἁ ΘΡ ποτὶ τὰν △Τ εἰ γάρ κα δυῶν τριγώνων ὀρθογωνίων αἱ μὲν ἅτεραι πλευραὶ αἱ περὶ τὰν ὀρθὰν γωνίαν ἴσαι ἔωντι, αἱ δὲ ἅτεραι ἄνισοι, ἁ μείζων γωνία τᾶν ποτὶ ταῖς ἀνίσοις πλευραῖς ποτὶ τὰν ἐλάττονα μείζονα μὲν ἔχει λόγον ἢ ἁ μείζων γραμμὰ τᾶν ὑπὸ τὰν ὀρθὰν γωνίαν ὑποτεινουσᾶν ποτὶ τὰν ἐλάττονα, ἐλάττονα δὲ ἢ ἁ μείζων γραμμὰ τᾶν περὶ τὰν ὀρθὰν γωνίαν ποτὶ τὰν ἐλάττονα.
그리고 직각삼각형 ΘΚΡ와 △ΚΤ에서 변 ΚΡ와 ΚΤ는 같고, 변 ΘΡ와 △Τ는 다르며 ΘΡ가 더 크므로, △Ｔ, △Κ에 의해 둘러싸인 각도는 ΘΡ, ΘΚ에 의해 둘러싸인 각도에 대해 ΘΚ가 △Κ에 대해 가지는 것보다 큰 비를 가지고, ΘΡ가 △Ｔ에 대해 가지는 것보다 작은 비를 가집니다. 왜냐하면 만일 두 직각삼각형에서 직각을 끼고 있는 한 변들이 서로 같고 다른 한 변들이 같지 않다면, 그 같지 않은 변들에 인접한 각들 중 큰 각은 작은 각에 대해 직각에 대한 빗변들 중 큰 선분이 작은 선분에 대해 가지는 비보다 큰 비를 가지고, 직각을 끼고 있는 변들 중 큰 선분이 작은 선분에 대해 가지는 비보다 작은 비를 가지기 때문입니다.
Ὥστε ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν △Λ, △Ξ ποτὶ τὰν γωνίαν τὰν περιεχομέναν ὑπὸ τᾶν ΘΟ, ΘΜ ἐλάττω λόγον ἔχει ἢ ἁ ΘΡ ποτὶ τὰν △Τ, ἅτις ἐλάττω λόγον ἔχει ἢ τὰ ρ ποτὶ τὰ (??)θ·
따라서 △Λ, △Ξ에 의해 둘러싸인 각도는 ΘΟ, ΘΜ에 의해 둘러싸인 각도에 대해 ΘΡ가 △Ｔ에 대해 가지는 것보다 작은 비를 가지며, 이 비는 100 대 99보다 작은 비를 가집니다.
ὥστε καὶ ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν △Λ, △Ξ ποτὶ τὰν γωνίαν τὰν περιεχομέναν ὑπὸ τᾶν ΘΜ, ΘΟ ἐλάττω λόγον ἔχει ἢ τὰ ρ ποτὶ τὰ (??)θ.
따라서 △Λ, △Ξ에 의해 둘러싸인 각도는 ΘΜ, ΘΟ에 의해 둘러싸인 각도에 대해 100 대 99보다 작은 비를 가집니다.
Καὶ ἐπεί ἐστιν ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν △Λ, △Ξ μείζων ἢ διακοσιοστὸν μέρος ὀρθᾶς, εἴη κα ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΘΜ, ΘΟ μείζων ἢ τᾶς ὀρθᾶς διαιρεθείσας ἐς δισμύρια τούτων (??)θ μέρεα ὥστε μείζων ἐστὶν ἢ διαιρεθείσας τᾶς ὀρθᾶς εἰς σ καὶ γ τούτων ἓν μέρος.
그리고 △Λ, △Ξ에 의해 둘러싸인 각도는 직각의 200분의 1보다 크므로, ΘΜ, ΘΟ에 의해 둘러싸인 각도는 직각을 20000등분한 것의 99 부분보다 클 것입니다. 따라서 그것은 직각을 203등분한 것의 한 부분보다 큽니다.
Ἁ ἄρα ΒΑ μείζων ἐστὶ τᾶς ὑποτεινούσας ἓν τμᾶμα διῃρημένας τᾶς τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφερείας εἰς ωιβ.
그러므로 ΒΑ는 원 ΑΒΓ의 원주를 812등분한 것의 한 호에 대한 현보다 큽니다.
Τᾷ δὲ ΑΒ ἴσα ἐντὶ ἁ τοῦ ἁλίου διάμετρος δῆλον οὖν ὅτι μείζων ἐστὶν ἁ τοῦ ἁλίου διάμετρος τᾶς τοῦ χιλιαγώνου πλευρᾶς.
그리고 ΑΒ는 태양의 지름과 같습니다. 그러므로 태양의 지름이 천각형의 한 변보다 크다는 것은 분명합니다.