§3#1## γ΄. Παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος τῆς διαμέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ ἔτι ὑπερέχει ἐλάσσονι μὲν ἢ ἑβδόμῳ μέρει τῆς διαμέτρου, μείζονι δὲ ἢ δέκα ἑβδομηκοστομόνοις.
## 第三命題すべての円の周は、直径の三倍であり、さらにその超過分は、直径の七分の一よりは小さく、他方、七十一分の十よりは大きい。
Ἔστω κύκλος καὶ διάμετρος ἡ ΑΓ καὶ κέντρον τὸ Ε καὶ ἡ ΓΛΖ ἐφαπτομένη καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τρίτου ὀρθῆς·
直径がΑΓ、中心がΕ、ΓΛΖが接線であり、角ΖΕΓが直角の三分の一［30度］である円があるとする。
ἡ ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΓ λόγον ἔχει, ὃν τς τρὸς ρνγ, ἡ δὲ ΕΓ πρὸς ΓΖ λόγον ἔχει, ὃν σξε πρὸς ρνγ, Τετμήσθω οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ δίχα τῇ ΕΗ·
したがって、ΕΖはΖΓに対して306対153の比を持ち、ΕΓは ΓΖに対して265対153の比を持つ。 それゆえ、角ΖΕΓがΕΗによって二等分されるとせよ。
ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΓ.
したがって、ΖΕがΕΓに対するように、ΖΗは ΗΓに対する。
Ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΖΕ. ΕΓ πρὸς ΖΓ, ἡ ΕΓ πρὸς ΓΗ·
それゆえ、ΖΕとΕΓを合わせたものがΖΓに対するように、ΕΓはΓΗに対する。
ὥστε ἡ ΓΕ πρὸς ΓΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ φοα πρὸς ρνγ.
したがって、ΓΕはΓΗに対して、571対153よりも大きい比を持つ。
Ἡ ΕΗ ἄρα πρὸς ΗΓ δυνάμει λόγον ἔχει, ὃν Μ θυν πρὸς Μ γυθ· μήκει ἄρα, ὃν φU+A7FCα η΄ πρὸς ρνγ.
それゆえ、ΕΗはΗΓに対して、二乗において、349450対23409の比を持ち、長さにおいては、591と8分の1対153の比を持つ。
Πάλιν δίχα ἡ ὑπὸ ΗΕΓ τῇ ΕΘ·
さらに、角ΗΕΓがΕΘによって二等分されるとせよ。
διὰ τὰ αὐτὰ ἄρα ἡ ΕΓ πρὸς ΓΘ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν αρξβ η΄πρὸς ρνγ· ἡ ΘΕ ἄρα πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν αροβ η΄ πρὸς ρνγ.
したがって同じ理由により、ΕΓはΓΘに対して、1162と8分の1対153よりも大きい比を持ち、ΘΕはΘΓに対して、1172と8分の1対153よりも大きい比を持つ。
Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΕΓ τῇ ΕΚ·
さらに、角ΘΕΓがΕΚによって二等分されるとせよ。
ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΚ μείζονα λόγον ἐχει ἢ ὃν βτλδ δ᾿ πρὸς ρνγ· ἡ ΕΚ ἄρα πρὸς ΓΚ μείζονα ἢ ὃν βτλθ δ᾿ πρὸς ρνγ.
したがって、ΕΓはΓΚに対して、2334と4分の1 対153よりも大きい比を持ち、ΕΚはΓΚに対して、2339と4分の1対153よりも大きい比を持つ。
Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΕΓ τῇ ΛΕ·
さらに、角ΚΕΓがΛΕによって二等分されるとせよ。
ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΛΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὰ δχογ U+2220΄ πρὸς ρνγ.
したがって、ΕΓはΛΓに対して、4673と2分の1対153よりも大きい比を持つ。
Ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τρίτου οὖσα ὀρθῆς τέτμηται τετράκις δίχα, ἡ ὑπὸ ΛΕΓ ὀρθῆς ἐστι μη΄.
それゆえ、直角の三分の一である角ΖΕΓが4回二等分されたので、角ΛΕΓは直角の96分の1である。
Κείσθω οὖν αὐτῇ ἴση πρὸς τῷ Ε ἡ ὑπὸ ΓΕΜ·
したがって、これに等しい角ΓΕΜをΕのところに作らせよ。
ἡ ἄρα ὑπὸ ΛΕΜ ὀρθῆς ἐστι κδ΄.
それゆえ角ΛΕΜは直角の48分の1である。
Καὶ ἡ ΛΜ ἄρα εὐθεῖα τοῦ περὶ τὸν κύκλον ἐστὶ πολυγώνου πλευρὰ πλευρὰς ἔχοντος (??)ς.
したがって、直線ΛΜも、円に外接する96角形の辺である。
Ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΛ ἐδείχθη μείζονα λόγον ἔχουσα ἤπερ δχογ U+2220΄ πρὸς ρνγ, ἀλλὰ τῆς μὲν ΕΓ διπλῆ ἡ ΑΓ, τῆς δὲ ΓΛ διπλασίων ἡ ΛΜ, καὶ ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς τὴν τοῦ (??)ς γώνου περίμετρον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δχογ U+2220΄πρὸς Μ δχπη.
それゆえ、ΕΓは ΓΛに対して、4673と2分の1対153よりも大きい比を持つことが示されたが、ΕΓの二倍はΑΓであり、ΓΛの二倍はΛΜであるから、ΑΓもまた、96角形の周に対して、4673と2分の1対14688よりも大きい比を持つ。
Καὶ ἐστιν τριπλασία, καὶ ὑπερέχουσιν χξζ U+2220΄, ἅπερ τῶν δχογ U+2220΄ ἐλάττονά ἐστιν ἢ τὸ ἕβδομον·
そして［14688は4673と2分の1の］三倍であり、 667と2分の1だけ超過しているが、これは4673と2分の1の七分の一よりも小さい。
ὥστε τὸ πολύγωνον τὸ περὶ τὸν κύκλον τῆς διαμέτρου ἐστὶ τριπλάσιον καὶ ἐλάττονι ἢ τῷ ἑβδόμῳ μέρει μεῖζον·
したがって、円に外接する多角形は、直径の三倍であり、かつ七分の一より小さい部分だけ大きい。
ἡ τοῦ κύκλου ἄρα περίμετρος πολὺ μᾶλλον ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τριπλασίων καὶ ἑβδόμῳ μέρει μείζων.
それゆえ、円の周は、なおいっそう、［直径の］三倍に七分の一を加えたものよりも小さい。