§1## α΄. Πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὀρθογωνίῳ, οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου ἴση μιᾷ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, ἡ δὲ περίμετρος τῇ βάσει.
## 第一命題すべての円は、その半径が直角を挟む辺の一方に等しく、周が底辺に等しいような直角三角形に等しい。
Ἐχέτω ὁ ΑΒΓ△ κύκλος τριγώνῳ τῷ Ε, ὡς ὑπόκειται·
円ΑΒΓΔが仮定のように三角形Εに対して［そのような関係に］あるとせよ。
λέγω ὅτι ἴσος ἐστίν.
私は、［円が三角形に］等しいと主張する。
Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω μείζων ὁ κύκλος, καὶ ἐγγεγράφθω τὸ ΑΓ τετράγωνον, καὶ τετμήσθωσαν αἱ περιφέρειαι δίχα, καὶ ἔστω τὰ τμήματα ἤδη ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ κύκλος τοῦ τριγώνου·
なぜなら、もし可能であれば、円がより大きいとせよ。 そして［円に］正方形ΑΓを内接させ、弧を二等分せよ。 そしてそれらの弓形が、すでに、円が三角形を超過している超過分よりも小さくなっているとせよ。
τὸ εὐθύγραμμον ἄρα ἔτι τοῦ τριγώνου ἐστὶ μεῖζον.
したがって、［内接する］直線図形は依然として三角形よりも大きい。
Εἰλήφθω κέντρον τὸ Ν καὶ κάθετος ἡ ΝΞ·
中心Νと、垂線ΝΞが取られるとせよ。
ἐλάσσων ἄρα ἡ ΝΞ τῆς τοῦ τριγώνου πλευρᾶς.
したがってΝΞは三角形の［直角を挟む］辺よりも小さい。
Ἔστιν δὲ καὶ ἡ περίμετρος τοῦ εὐθυγράμμου τῆς λοιπῆς ἐλάττων, ἐπεὶ καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιμέτρου ἔλαττον ἄρα τὸ εὐθύγραμμον τοῦ Ε τριγώνου·
また、直線図形の周も、残りの辺よりも小さい。 なぜならそれは円の周よりも小さいからである。 したがって、直線図形は三角形Εよりも小さい。
ὅπερ ἄτοπον.
これは不合理である。
Ἔστω δὲ ὁ κύκλος, εἰ δυνατόν, ἐλάσσων τοῦ Ε τριγώνου, καὶ περιγεγράφθω τὸ τετράγωνον, καὶ τετμήσθωσαν αἱ περιφέρειαι δίχα, καὶ ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι διὰ τῶν σημείων·
他方、もし可能であれば、円が三角形Εよりも小さいとせよ。 そして正方形を外接させ、弧を二等分し、それらの点を通って接線を引かせよ。
ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΟΑΡ. Ἡ ΟΡ ἄρα τῆς ΜΡ ἐστὶν μείζων·
したがって角ΟΑΡは直角である。 ゆえにΟΡはΜΡよりも大きい。
ἡ γὰρ ΡΜ τῇ ΡΑ ἴση ἐστί·
なぜならΡΜはΡΑに等しいからである。
καὶ τὸ ΡΟΠ τρίγωνον ἄρα τοῦ ΟΖΑΜ σχήματος μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ.
したがって三角形ΡΟΠもまた、図形ΟΖΑΜの半分よりも大きい。
Λελείφθωσαν οἱ τῷ ΠΖΑ τομεῖ ὅμοιοι ἐλάσσους τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει τὸ Ε τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου·
残された、扇形ΠΖΑに類似する［図形］が、三角形Εが円ΑΒΓΔを超過している超過分よりも小さくなっているとせよ。
ἔτι ἄρα τὸ περιγεγραμμένον εὐθύγραμμον τοῦ Ε ἐστὶν ἔλασσον·
したがって、外接された直線図形は依然として三角形Εよりも小さい。
ὅπερ ἄτοπον·
これは不合理である。
ἔστιν γὰρ μεῖζον, ὅτι ἡ μὲν ΝΑ ἴση ἐστὶ τῇ καθέτῳ τοῦ τριγώνου, ἡ δὲ περίμετρος μείζων ἐστὶ τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου.
なぜなら、［外接図形は］より大きいからである。 というのも、［半径］ΝΑは三角形の垂線に等しく、周は三角形の底辺よりも大きいからである。
Ἴσος ἄρα ὁ κύκλος τῷ Ε τριγώνῳ.
したがって、円は三角形Εに等しい。
§2## β΄. Ὁ κύκλος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον λόγον ἔχει, ὃν ῑᾱ πρὸς ῑδ.
## 第二命題円はその直径の上の正方形に対して、11対14の比を持つ。
Ἔστω κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ περιγεγράφθω τετράγωνον τὸ ΓΗ, καὶ τῆς Γ△ διπλῆ ἡ △Ε, ἕβδομον δὲ ἡ ΕΖ τῆς Γ△.
直径がΑΒである円があるとし、正方形ΓΗが外接されるとせよ。 そしてΓΔの二倍をΔΕとし、ΓΔの七分の一をΕΖとせよ。
Ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΓΕ πρὸς τὸ ΑΓ△ λόγον ἔχει, ὃν κᾱ πρὸς ζ, πρὸς δὲ τὸ ΑΕΖ τὸ ΑΓ△ λόγον ἔχει, ὃν ἑπτὰ πρὸς ἐν, τὸ ΑΓΖ πρὸς τὸ ΑΓ△ ἐστίν, ὡς κβ πρὸς ζ.
それゆえ、［三角形］ΑΓΕが［三角形］ΑΓΔに対して21対7の比を持ち、［三角形］ΑΓΔが［三角形］ΑΕΖに対して7対 1の比を持つので、［四角形］ΑΓΔΖは［三角形］ΑΓΔに対して22対7の比を持つ。
Ἀλλὰ τοῦ ΑΓ△ τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ΓΗ τετράγωνον, τὸ δὲ ΑΓ△Ζ τρίγωνον τῷ ΑΒ κύκλῳ ἴσον ἐστίν·
しかし、正方形ΓΗは［三角形］ΑΓΔの四倍であり、他方、図形ΑΓΔΖは円ΑΒに等しい。
ὁ κύκλος οὖν πρὸς τὸ ΓΗ τετράγωνον λόγον ἔχει, ὃν ῑᾱ πρὸς ιδ.
したがって、円は正方形ΓΗに対して11対14の比を持つ。