§3#2Ἔστω κύκλος καὶ διάμετρος ἡ ΑΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τρίτου ὀρθῆς·
円があり、直径をΑΓ、角ΒΑΓは直角の三分の一［30度］であるとせよ。
ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὃν αταν πρὸς ψπ.
したがって、ΑΒはΒΓに対して、1351対780よりも小さい比を持つ。
Δίχα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ΑΗ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΗ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ, ἀλλὰ καὶ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ, καὶ ἡ ὑπὸ ΗΓΒ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ ἐστὶν ἴση.
角ΒΑΓがΑΗによって二等分されるとせよ。 さて、角ΒΑΗは角ΗΓΒに等しいが、角ΗΑΓにも等しいので、角ΗΓΒもまた角ΗΑΓに等しい。
Καὶ κοινὴ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ ὀρθή·
そして、共通の角ΑΗΓは直角である。
καὶ τρίτη ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΖΓ τρίτῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΗ ἴση.
したがって、第三の角ΗΖΓも第三の角ΑΓΗに等しい。
Ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΗΓ τῷ ΓΗΖ τριγώνῳ·
それゆえ、三角形ΑΗΓは三角形ΓΗΖと等角である。
ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ καὶ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ. Ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ, συναμφότερος ἡ ΓΑΒ πρὸς ΒΓ·
したがって、ΑΗがΗΓに対するように、ΓΗはΗΖに対する、またΑΓはΓΖに対する。 しかし、ΑΓが ΓΖに対するように、ΓΑとΑΒを合わせたものはΒΓに対する。
καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ. Διὰ τοῦτο οὖν ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ βϡια πρὸς ψπ, ἡ δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ ἐλάσσονα ἢ ὃν γιγ U+2220΄ δ΄ πρὸς ψπ.
したがって、ΒΑとΑΓを合わせたものがΒΓに対するように、ΑΗはΗΓに対する。 それゆえ、このにより、ΑΗはΗΓに対して、2911対780よりも小さい比を持ち、ΑΓはΓΗに対して、3013と1/2と1/4対780よりも小さい比を持つ。
Δίχα ἡ ὑπὸ ΓΑΗ τῇ ΑΘ·
角ΓΑΗがΑΘによって二等分されるとせよ。
ἡ ΑΘ ἄρα διὰ τὰ αὐτὰ πρὸς τὴν ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὃν εϡκδ U+2220΄ δ΄ πρὸς ψπ ἢ ὃν αωκγ πρὸς σμ·
したがって、同じ理由によって、ΑΘはΘΓに対して、 5924と1/2と1/4対780よりも小さい比、すなわち1823対240よりも小さい比を持つ。
ἑκατέρα γὰρ ἑκατέρας δ ιγ΄·
なぜなら、後者のおのおのは前者のおのおのの13分の4だからである。
ὥστε ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΘ ἢ ὃν αωλη θ ια΄ πρὸς σμ.
したがって、ΑΓはΓΘに対して、1838と11分の9対240よりも小さい比を持つ。
Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ΚΑ·
さらに、角ΘΑΓがΚΑによって二等分されるとせよ。
καὶ ὁ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὃν αζ πρὸς ξς·
そしてΑΚはΚΓに対して、1007対66よりも小さい比を持つ。
ἑκατέρα γὰρ ἑκατέρας ια μ΄.
なぜなら、後者のおのおのは前者のおのおのの40分の11だからである。
Ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΚΓ ἢ ὃν αθ ϛ΄ πρὸς ξς.
したがって、ΑΓはΚΓに対して、 1009と6分の1対66よりも小さい比を持つ。
Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΑΓ τῇ ΛΑ·
さらに、角ΚΑΓがΛΑによって二等分されるとせよ。
ἡ ΑΛ ἄρα πρὸς ΛΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὃν τὰ βις ϛ΄ πρὸς ξς, ἡ δὲ ΑΓ πρὸς ΓΛ ἐλάσσονα ἢ τὰ βιζ δ΄ πρὸς ξς.
したがって、ΑΛはΛΓに対して、2016と1/6対66よりも小さい比を持ち、ΑΓはΓΛに対して、2017と1/4対66よりも小さい比を持つ。
Ἀνάπαλιν ἄρα ἡ περίμετρος τοῦ πολυγώνου πρὸς τὴν διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ςτλς πρὸς βιζ δ΄.
したがって、逆に、多角形の周は直径に対して、6336対2017と1/4よりも大きい比を持つ。
ἅπερ τῶν βιζ δ΄ μείζονά ἐστιν ἢ τριπλασίονα καὶ δέκα οα΄·
この［6336］は、 2017と1/4の三倍と71分の10よりも大きい。
καὶ ἡ περίμετρος ἄρα τοῦ (??)ςγώνου τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τῆς διαμέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ μείζων ἢ ι οα΄·
それゆえ、円に内接する96角形の周もまた、直径の三倍であり、かつ71分の10よりも大きい。
ὥστε καὶ ὁ κύκλος ἔτι μᾶλλον τριπλασίων ἐστὶ καὶ μείζων ἢ ι οα΄.
したがって、円もまた、なおいっそう、［直径の］三倍であり、かつ71分の10よりも大きい。
Ἡ ἄρα τοῦ κύκλου περίμετρος τῆς διαμέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ ἐλάσσονι μὲν ἢ ἑβδόμῳ μέρει, μείζονι δὲ ἢ ι οα΄ μείζων.
したがって、円の周は、直径の三倍であり、かつ七分の一よりは小さく、他方、七十一分の十よりは大きい部分だけ大きい。