§3#1## γ΄. Παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος τῆς διαμέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ ἔτι ὑπερέχει ἐλάσσονι μὲν ἢ ἑβδόμῳ μέρει τῆς διαμέτρου, μείζονι δὲ ἢ δέκα ἑβδομηκοστομόνοις.
## 명제 3 모든 원의 둘레는 지름의 세 배이며, 더욱이 그 초과하는 부분은 지름의 7분의 1보다 더 작고, 71분의 10보다는 더 크다.
Ἔστω κύκλος καὶ διάμετρος ἡ ΑΓ καὶ κέντρον τὸ Ε καὶ ἡ ΓΛΖ ἐφαπτομένη καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τρίτου ὀρθῆς·
한 원이 있고 지름 ΑΓ와 중심 Ε, 그리고 접선 ΓΛΖ가 있으며 각 ΖΕΓ는 직각의 3분의 1이라고 하자.
ἡ ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΓ λόγον ἔχει, ὃν τς τρὸς ρνγ, ἡ δὲ ΕΓ πρὸς ΓΖ λόγον ἔχει, ὃν σξε πρὸς ρνγ, Τετμήσθω οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ δίχα τῇ ΕΗ·
그렇다면 ΕΖ는 ΖΓ에 대하여 306 대 153의 비를 가지고, ΕΓ는 ΓΖ에 대하여 265 대 153의 비를 가진다. 그러므로 각 ΖΕΓ가 ΕΗ에 의해 이등분된다고 하자.
ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΓ.
그렇다면 ΖΕ가 ΕΓ에 대한 것과 같이, ΖΗ는 ΗΓ에 대한 것이다.
Ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΖΕ. ΕΓ πρὸς ΖΓ, ἡ ΕΓ πρὸς ΓΗ·
따라서 ΖΕ와 ΕΓ를 합한 것이 ΖΓ에 대한 것과 같이, ΕΓ는 ΓΗ에 대한 것이다.
ὥστε ἡ ΓΕ πρὸς ΓΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ φοα πρὸς ρνγ.
그러므로 ΓΕ는 ΓΗ에 대하여 571 대 153보다 더 큰 비를 가진다.
Ἡ ΕΗ ἄρα πρὸς ΗΓ δυνάμει λόγον ἔχει, ὃν Μ θυν πρὸς Μ γυθ· μήκει ἄρα, ὃν φU+A7FCα η΄ πρὸς ρνγ.
따라서 ΕΗ는 ΗΓ에 대하여 제곱으로 349450 대 23409의 비를 가지고, 길이로는 591과 8분의 1 대 153의 비를 가진다.
Πάλιν δίχα ἡ ὑπὸ ΗΕΓ τῇ ΕΘ·
다시 각 ΗΕΓ가 ΕΘ에 의해 이등분된다고 하자.
διὰ τὰ αὐτὰ ἄρα ἡ ΕΓ πρὸς ΓΘ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν αρξβ η΄πρὸς ρνγ· ἡ ΘΕ ἄρα πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν αροβ η΄ πρὸς ρνγ.
그렇다면 같은 이유로 ΕΓ는 ΓΘ에 대하여 1162와 8분의 1 대 153보다 더 큰 비를 가지고, ΘΕ는 ΘΓ에 대하여 1172와 8분의 1 대 153보다 더 큰 비를 가진다.
Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΕΓ τῇ ΕΚ·
다시 각 ΘΕΓ가 ΕΚ에 의해 이등분된다고 하자.
ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΚ μείζονα λόγον ἐχει ἢ ὃν βτλδ δ᾿ πρὸς ρνγ· ἡ ΕΚ ἄρα πρὸς ΓΚ μείζονα ἢ ὃν βτλθ δ᾿ πρὸς ρνγ.
그렇다면 ΕΓ는 ΓΚ에 대하여 2334와 4분의 1 대 153보다 더 큰 비를 가지고, ΕΚ는 ΓΚ에 대하여 2339와 4분의 1 대 153보다 더 큰 비를 가진다.
Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΕΓ τῇ ΛΕ·
다시 각 ΚΕΓ가 ΛΕ에 의해 이등분된다고 하자.
ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΛΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὰ δχογ U+2220΄ πρὸς ρνγ.
그렇다면 ΕΓ는 ΛΓ에 대하여 4673과 2분의 1 대 153보다 더 큰 비를 가진다.
Ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τρίτου οὖσα ὀρθῆς τέτμηται τετράκις δίχα, ἡ ὑπὸ ΛΕΓ ὀρθῆς ἐστι μη΄.
그러므로 직각의 3분의 1인 각 ΖΕΓ가 네 번 이등분되었으므로, 각 ΛΕΓ는 직각의 96분의 1이다.
Κείσθω οὖν αὐτῇ ἴση πρὸς τῷ Ε ἡ ὑπὸ ΓΕΜ·
그러므로 Ε에 이각과 같은 각 ΓΕΜ을 놓도록 하자.
ἡ ἄρα ὑπὸ ΛΕΜ ὀρθῆς ἐστι κδ΄.
그렇다면 각 ΛΕΜ은 직각의 48분의 1이다.
Καὶ ἡ ΛΜ ἄρα εὐθεῖα τοῦ περὶ τὸν κύκλον ἐστὶ πολυγώνου πλευρὰ πλευρὰς ἔχοντος (??)ς.
따라서 직선 ΛΜ 역시 원에 외접하는 96각형의 한 변이다.
Ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΛ ἐδείχθη μείζονα λόγον ἔχουσα ἤπερ δχογ U+2220΄ πρὸς ρνγ, ἀλλὰ τῆς μὲν ΕΓ διπλῆ ἡ ΑΓ, τῆς δὲ ΓΛ διπλασίων ἡ ΛΜ, καὶ ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς τὴν τοῦ (??)ς γώνου περίμετρον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δχογ U+2220΄πρὸς Μ δχπη.
그러므로 ΕΓ가 ΓΛ에 대하여 4673과 2분의 1 대 153보다 더 큰 비를 가지는 것으로 증명되었는데, ΕΓ의 두 배는 ΑΓ이고, ΓΛ의 두 배는 ΛΜ이므로, ΑΓ 역시 96각형의 둘레에 대하여 4673과 2분의 1 대 14688보다 더 큰 비를 가진다.
Καὶ ἐστιν τριπλασία, καὶ ὑπερέχουσιν χξζ U+2220΄, ἅπερ τῶν δχογ U+2220΄ ἐλάττονά ἐστιν ἢ τὸ ἕβδομον·
그리고 그것은 세 배이며, 667과 2분의 1만큼 초과하는데, 이는 4673과 2분의 1의 7분의 1보다 더 작다.
ὥστε τὸ πολύγωνον τὸ περὶ τὸν κύκλον τῆς διαμέτρου ἐστὶ τριπλάσιον καὶ ἐλάττονι ἢ τῷ ἑβδόμῳ μέρει μεῖζον·
따라서 원에 외접하는 다각형은 지름의 세 배이며 7분의 1보다 더 작은 부분만큼 더 크다.
ἡ τοῦ κύκλου ἄρα περίμετρος πολὺ μᾶλλον ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τριπλασίων καὶ ἑβδόμῳ μέρει μείζων.
그러므로 원의 둘레는 더욱이 [지름의] 세 배와 7분의 1보다 더 작다.