§16.5Διὰ τί ὁ μὲν κύλινδρος ὠσθεὶς εἰς εὐθύ τε φέρεται καὶ γράφει εὐθείας τοῖς ὁρίζουσιν αὐτὸν κύκλοις, ὁ δὲ κῶνος κύκλῳ περιφέρεται, τῆς κορυφῆς μενούσης, καὶ γράφει τὸν κύκλον τῷ ὁρίζοντι κύκλῳ;
なぜ円柱は押されるとまっすぐ進み、それを画定する円によって直線を描くのに対して、円錐は頂点が静止したまま円を描いて回転し、その画定する円によって円を描くのか。
κύκλῳ μὲν ἀμφότερα φέρεται, γράφει δ’ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ὁ μὲν κύλινδρος εὐθείας, ὁ δὲ κῶνος κύκλους, διὰ τὸ τοὺς μὲν ἐν τῷ κώνῳ ἀνίσους εἶναι κύκλους, φέρεσθαι δὲ ἀεὶ θᾶττον τὸν μείζονα τῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον.
両方とも円運動をしてはいるが、平面上には、円柱は直線を、円錐は円を描く。 それは、円錐における諸円が不均等であり、同じ中心の周りではより大きな円が常に速く進むからである。
φερομένων δὲ ἀνίσως πάντων ἅμα τῶν ἐν τῷ κώνῳ κύκλων, συμβαίνει τοὺς ἐξωτάτω πλεῖστον ἐν ταὐτῷ χρόνῳ τόπον καὶ γραμμὴν φέρεσθαι·
円錐の中のすべての円が同時に不均等な速さで進むとき、最も外側の円が同じ時間内において最も多くの場所と線を進むことになる。
διὸ καὶ κύκλῳ φέρονται.
それゆえ、それらは円を描いて進む。
γράφονταί τε γὰρ πάντες τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ, καὶ τῆς εὐθείας κύκλῳ μὲν φερομένης οὐ πάντα τὰ ἐν αὐτῇ σημεῖα ἴσην ἐν ταὐτῷ χρόνῳ γράφει γραμμήν, εἰς εὐθὺ δὲ φέρει τὴν ἴσην.
なぜなら、それらはすべて同一の直線によって描かれ、その直線が円を描いて動くときには、その上のすべての点が同じ時間内に等しい線を描くわけではないが、直線的に進むときには等しい線を描くからである。
τοῦ δὲ κυλίνδρου πάντων ἴσων ὄντων τῶν κύκλων καὶ περὶ ταὐτὸ κέντρον, συμβαίνει τὰ ἅμα τοῦ ἐπιπέδου ἐν αὐτοῖς πάνθ’ ἁπτομένοις σημεῖα, φέρεσθαί τε ἰσοταχεῖς κυλιομένους διὰ τὸ τοὺς κυλίνδρους ἴσους εἶναι, καὶ ἥκειν ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον πάλιν ἅμα ἐκκυλισθέντα ἕκαστον τὸν αὑτοῦ κύκλον, ὥστε καὶ τὰς ἐν τῷ ἐπιπέδῳ εὐθείας ἴσας γίνεσθαι·
一方、円柱においては、すべての円が等しく、かつ同一の中心の周りにあるため、それらの円が同時に平面に接するすべての点において、円柱が等しいことから、転がるときに等速で進み、それぞれが自分の円を一回転し終えたときに同時に再び平面に戻ってくることになる。 その結果、平面上に描かれる直線も等しくなる。
τῇ γὰρ αὑτῶν ἀφῇ αὐτὰς ἔγραψαν, ὄντες ἴσοι τε καὶ ἰσοταχεῖς.
なぜなら、それらの円は等しくかつ等速であるため、自らの接触によってそれらの直線を描いたからである。
ἐγίνοντο δὲ εὐθεῖαι αἱ ὑπὸ τῆς αὐτῆς γραφεῖσαι γραμμῆς εἰς εὐθὺ φερομένης, ὥστε διὰ ταύτας εἰς εὐθὺ ἀναφέροιτο ὁ κύλινδρος.
そして、同一の直線がまっすぐに進むことによって描かれる線は直線となるため、これらによって円柱はまっすぐに進むとされる。
διαφέρει γὰρ οὐθέν, ᾗ ἡ πρώτη ἥψατο ὁ κύλινδρος τοῦ ἐπιπέδου γραμμῇ, ταύτῃ ἕλκειν ἐν τῷ ἐπιπέδῳ, ἢ ἐγκυλίειν αὐτό·
なぜなら、円柱が最初に平面に接触したその直線に沿って、平面上を引きずることも、それを転がすことも、何も変わらないからである。
ἀεὶ γὰρ ἴσην καὶ ὁμοίαν γραμμὴν τῶν ἐν τῷ κυλίνδρῳ συμβήσεται ἅπτεσθαι τοῦ ἐπιπέδου, ἑλκομένου τε καὶ κυλιομένου τοῦ κυλίνδρου.
引きずられるときも転がされるときも、円柱にある点のうち、常に等しくかつ同様の線が平面に接触することになるからである。
§16.6Διὰ τί τῶν βιβλίων ἡ τομὴ οὖσα ἐπίπεδος καὶ εὐθεῖα, ἐὰν μέν τις τέμῃ παρὰ τὴν βάσιν, γίνεται εὐθεῖα ἀνελιττομένη, ἐὰν δὲ ἐγκλίνας, σκολιά;
なぜ、巻物の断面は平らで直線的であるのに、底面に対して平行に切れば、広げたときに直線になり、傾けて切れば、曲がった線になるのか。
ἢ ὅτι συμβαίνει τῶν ἐν τῇ ἑτέρᾳ τομῇ κύκλων ἐν ταὐτῷ ἐπιπέδῳ ὄντων τὴν ἐγκεκλιμένην τομὴν μὴ παρακειμένην εἶναι, ἀλλ’ ἐν τῇ μὲν πλεῖον, τῇ δὲ ἔλαττον αὐτῆς ἀπέχειν, ὥστε ἐξελιττομένου οἱ μὲν ἐν ταὐτῷ ἐπιπέδῳ ὄντες κύκλοι, καὶ τὴν ἀρχὴν ἔχοντες ἐν ταὐτῷ ἐπιπέδῳ.
あるいは、平行なもう一方の切断面にある円たちが同一の平面上にあるのに対し、傾いた切断面はそれに平行しておらず、ある部分ではより多く、ある部分ではより少なくそこから離れているためだろうか。 その結果、広げられるとき、同一の平面上にあってその起点を同一の平面上に持つ諸円は、広げられることによって、自らからなる線を作り出す。
τὴν ἐξ αὑτῶν ποιήσουσι γραμμὴν ἐξελιττόμενοι. ἔστι γὰρ ἡ γινομένη γραμμὴ ἐκ τῶν κύκλων οἵ εἰσιν ἐν ταὐτῷ ἐπιπέδῳ·
なぜなら、生じる線は同一平面上にある諸円からなるからであり、したがって、平面上の直線となるのである。
ὥστε καὶ εὐθεῖα οὖσα ἐν ἐπιπέδῳ.
そして、斜めの切断面の広げられた線は、最初の線と平行ではなく、切断面自体がそれに対してそのような関係にあるために、ある部分ではより多く、ある部分ではより少なくそこから離れているので、同一の平面上にはない。
ἥ τε τῆς λοξῆς τομῆς ἐξελιττομένη γραμμὴ οὐκ οὖσα παρὰ τὴν πρώτην, ἀλλὰ τῇ μὲν πλέον, τῇ δὲ ἔλαττον αὐτῆς διεστηκυῖα διὰ τὸ καὶ τὴν τομὴν οὕτως ἔχειν πρὸς αὐτήν, οὐκ ἐν ἐπιπέδῳ ἔσται, ὥστε οὐδ’ εὐθεῖα·
したがって、直線でもない。
τῆς γὰρ εὐθείας οὐκ ἔστι τὸ μὲν ἐν ἄλλῳ, τὸ δὲ ἐν ἄλλῳ ἐπιπέδῳ.
なぜなら、直線の一部が別の平面にあり、別の一部がまた別の平面にあるということはあり得ないからである。
§16.7Διὰ τί διαιρούμενα τὰ μεγέθη ἐλάττω φαίνεται πάντα τοῦ ὅλου;
なぜ、分割された大きさはすべて、全体よりも小さく見えるのか。
ἢ ὅτι διαιρούμενα μὲν ἀριθμὸν ἔχει πάντα, μεγέθει δὲ ἐλάττω ἐστὶ τοῦ ἑνός;
あるいは、分割されるとそれらはすべて数を持つが、大きさにおいては一なるものよりも小さいからだろうか。
τὸ μὲν γὰρ μέγα τῷ κατὰ συνέχειαν εἶναι καὶ ποσόν τι μέγα λέγεται, ὁ δὲ ἀριθμός τε πᾶς παντὸς μεγέθους ἀριθμοῦ μείζων.
なぜなら、大きいものは連続していることによって、ある特定の大きさのものと言われるのに対し、すべての数はどんな大きさの数よりも大きいからである。
διόπερ εἰκὸς τὸ ὅλον διαιρεθέντων τῶν μερῶν μεῖζον φαίνεσθαι· τῶν αὐτῶν γὰρ ὄντων αὐτῶν τὸ μὲν ὅλον τὴν τοῦ μεγέθους ἔχει μᾶλλον φύσιν, συνεχὲς ὄν, τὰ δὲ μέρη τὴν τοῦ ἀριθμοῦ.
それゆえ、部分に分割されたとき、全体の方がより大きく見えるのは自然である。 なぜなら、それらが同一のものであっても、全体は連続しているがゆえにより大きさの性質を持ち、部分は数の性質を持つからである。