§16.5Διὰ τί ὁ μὲν κύλινδρος ὠσθεὶς εἰς εὐθύ τε φέρεται καὶ γράφει εὐθείας τοῖς ὁρίζουσιν αὐτὸν κύκλοις, ὁ δὲ κῶνος κύκλῳ περιφέρεται, τῆς κορυφῆς μενούσης, καὶ γράφει τὸν κύκλον τῷ ὁρίζοντι κύκλῳ;
왜 원기둥은 밀릴 때 곧게 나아가며 자신을 규정하는 원들에 의해 직선을 그리는 반면, 원뿔은 꼭짓점이 정지해 있는 상태에서 원을 그리며 회전하고, 그 규정하는 원에 의해 원을 그리는가?
κύκλῳ μὲν ἀμφότερα φέρεται, γράφει δ’ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ὁ μὲν κύλινδρος εὐθείας, ὁ δὲ κῶνος κύκλους, διὰ τὸ τοὺς μὲν ἐν τῷ κώνῳ ἀνίσους εἶναι κύκλους, φέρεσθαι δὲ ἀεὶ θᾶττον τὸν μείζονα τῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον.
둘 다 원운동을 하지만, 평면 위에 원기둥은 직선을, 원뿔은 원을 그리는데, 이는 원뿔 안의 원들이 서로 불균등하며 동일한 중심 주변에서는 더 큰 원이 항상 더 빠르게 이동하기 때문이다.
φερομένων δὲ ἀνίσως πάντων ἅμα τῶν ἐν τῷ κώνῳ κύκλων, συμβαίνει τοὺς ἐξωτάτω πλεῖστον ἐν ταὐτῷ χρόνῳ τόπον καὶ γραμμὴν φέρεσθαι·
원뿔 안의 모든 원이 동시에 불균등한 속도로 이동할 때, 가장 바깥쪽의 원이 동일한 시간 내에 가장 많은 장소와 선을 이동하게 된다.
διὸ καὶ κύκλῳ φέρονται.
이 때문에 그것들은 원을 그리며 이동하는 것이다.
γράφονταί τε γὰρ πάντες τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ, καὶ τῆς εὐθείας κύκλῳ μὲν φερομένης οὐ πάντα τὰ ἐν αὐτῇ σημεῖα ἴσην ἐν ταὐτῷ χρόνῳ γράφει γραμμήν, εἰς εὐθὺ δὲ φέρει τὴν ἴσην.
왜냐하면 그것들은 모두 동일한 직선에 의해 그려지며, 그 직선이 원을 그리며 이동할 때는 그 위의 모든 점이 동일한 시간 내에 동일한 선을 그리는 것이 아니지만, 곧게 나아갈 때는 동일한 선을 그리기 때문이다.
τοῦ δὲ κυλίνδρου πάντων ἴσων ὄντων τῶν κύκλων καὶ περὶ ταὐτὸ κέντρον, συμβαίνει τὰ ἅμα τοῦ ἐπιπέδου ἐν αὐτοῖς πάνθ’ ἁπτομένοις σημεῖα, φέρεσθαί τε ἰσοταχεῖς κυλιομένους διὰ τὸ τοὺς κυλίνδρους ἴσους εἶναι, καὶ ἥκειν ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον πάλιν ἅμα ἐκκυλισθέντα ἕκαστον τὸν αὑτοῦ κύκλον, ὥστε καὶ τὰς ἐν τῷ ἐπιπέδῳ εὐθείας ἴσας γίνεσθαι·
반면 원기둥의 경우에는 모든 원이 동일하고 동일한 중심 주변에 있기 때문에, 그것들이 동시에 평면에 접하는 모든 점이 구를 때 동속으로 이동하게 되는데, 이는 원기둥이 동일하기 때문이며, 각각 자신의 원을 한 바퀴 다 구른 후에 동시에 다시 평면으로 돌아오게 된다. 그리하여 평면 위의 직선들도 동일하게 된다.
τῇ γὰρ αὑτῶν ἀφῇ αὐτὰς ἔγραψαν, ὄντες ἴσοι τε καὶ ἰσοταχεῖς.
왜냐하면 그것들은 자신들이 동일하고 동속인 상태에서 스스로의 접촉에 의해 그 직선들을 그렸기 때문이다.
ἐγίνοντο δὲ εὐθεῖαι αἱ ὑπὸ τῆς αὐτῆς γραφεῖσαι γραμμῆς εἰς εὐθὺ φερομένης, ὥστε διὰ ταύτας εἰς εὐθὺ ἀναφέροιτο ὁ κύλινδρος.
그리고 동일한 직선이 곧게 나아감으로써 그려진 선들은 직선이 되므로, 이 직선들 때문에 원기둥은 곧게 진행하게 된다.
διαφέρει γὰρ οὐθέν, ᾗ ἡ πρώτη ἥψατο ὁ κύλινδρος τοῦ ἐπιπέδου γραμμῇ, ταύτῃ ἕλκειν ἐν τῷ ἐπιπέδῳ, ἢ ἐγκυλίειν αὐτό·
왜냐하면 원기둥이 처음에 평면에 접한 그 직선을 따라 평면 위에서 끄는 것이나 그것을 굴리는 것이나 아무런 차이가 없기 때문이다.
ἀεὶ γὰρ ἴσην καὶ ὁμοίαν γραμμὴν τῶν ἐν τῷ κυλίνδρῳ συμβήσεται ἅπτεσθαι τοῦ ἐπιπέδου, ἑλκομένου τε καὶ κυλιομένου τοῦ κυλίνδρου.
원기둥을 끌거나 굴릴 때, 원기둥에 있는 점들 중 항상 동일하고 유사한 선이 평면에 접하게 되기 때문이다.
§16.6Διὰ τί τῶν βιβλίων ἡ τομὴ οὖσα ἐπίπεδος καὶ εὐθεῖα, ἐὰν μέν τις τέμῃ παρὰ τὴν βάσιν, γίνεται εὐθεῖα ἀνελιττομένη, ἐὰν δὲ ἐγκλίνας, σκολιά;
왜 두루마리의 단면은 평평하고 직선적임에도 불구하고, 누군가 밑면에 평행하게 자르면 펼쳤을 때 직선이 되는 반면, 기울여서 자르면 굽은 선이 되는가?
ἢ ὅτι συμβαίνει τῶν ἐν τῇ ἑτέρᾳ τομῇ κύκλων ἐν ταὐτῷ ἐπιπέδῳ ὄντων τὴν ἐγκεκλιμένην τομὴν μὴ παρακειμένην εἶναι, ἀλλ’ ἐν τῇ μὲν πλεῖον, τῇ δὲ ἔλαττον αὐτῆς ἀπέχειν, ὥστε ἐξελιττομένου οἱ μὲν ἐν ταὐτῷ ἐπιπέδῳ ὄντες κύκλοι, καὶ τὴν ἀρχὴν ἔχοντες ἐν ταὐτῷ ἐπιπέδῳ.
아니면 한쪽 단면에 있는 원들은 동일한 평면 위에 있는 반면, 기울어진 단면은 그것과 평행하지 않고 어떤 부분에서는 더 많이, 어떤 부분에서는 더 적게 그것으로부터 떨어져 있기 때문인가? 그 결과, 펼쳐질 때 동일한 평면 위에 있으며 동일한 평면 위에 기원을 두는 원들은 펼쳐짐으로써 자신들로 이루어진 선을 만들게 된다.
τὴν ἐξ αὑτῶν ποιήσουσι γραμμὴν ἐξελιττόμενοι. ἔστι γὰρ ἡ γινομένη γραμμὴ ἐκ τῶν κύκλων οἵ εἰσιν ἐν ταὐτῷ ἐπιπέδῳ·
왜냐하면 생성되는 선은 동일한 평면 위에 있는 원들로 구성되기 때문이며, 따라서 평면 위의 직선이 된다.
ὥστε καὶ εὐθεῖα οὖσα ἐν ἐπιπέδῳ.
그리고 비스듬한 단면의 펼쳐진 선은 첫 번째 선과 평행하지 않고, 단면 자체도 그것에 대해 그러한 관계에 있기 때문에 어떤 곳에서는 더 많이, 어떤 곳에서는 더 적게 떨어져 있으므로 동일한 평면 위에 존재하지 않게 된다.
ἥ τε τῆς λοξῆς τομῆς ἐξελιττομένη γραμμὴ οὐκ οὖσα παρὰ τὴν πρώτην, ἀλλὰ τῇ μὲν πλέον, τῇ δὲ ἔλαττον αὐτῆς διεστηκυῖα διὰ τὸ καὶ τὴν τομὴν οὕτως ἔχειν πρὸς αὐτήν, οὐκ ἐν ἐπιπέδῳ ἔσται, ὥστε οὐδ’ εὐθεῖα·
따라서 직선도 아니다.
τῆς γὰρ εὐθείας οὐκ ἔστι τὸ μὲν ἐν ἄλλῳ, τὸ δὲ ἐν ἄλλῳ ἐπιπέδῳ.
왜냐하면 직선의 한 부분은 다른 평면에 있고, 다른 부분은 또 다른 평면에 있을 수는 없기 때문이다.
§16.7Διὰ τί διαιρούμενα τὰ μεγέθη ἐλάττω φαίνεται πάντα τοῦ ὅλου;
왜 분할된 크기들은 모두 전체보다 작아 보이는가?
ἢ ὅτι διαιρούμενα μὲν ἀριθμὸν ἔχει πάντα, μεγέθει δὲ ἐλάττω ἐστὶ τοῦ ἑνός;
아니면 분할되면 그것들은 모두 수를 갖게 되지만, 크기에서는 일자보다 작기 때문인가?
τὸ μὲν γὰρ μέγα τῷ κατὰ συνέχειαν εἶναι καὶ ποσόν τι μέγα λέγεται, ὁ δὲ ἀριθμός τε πᾶς παντὸς μεγέθους ἀριθμοῦ μείζων.
왜냐하면 큰 것은 연속적임으로 인해 어떤 특정한 크기의 것이라고 불리는 반면, 모든 수는 어떤 크기의 수보다도 크기 때문이다.
διόπερ εἰκὸς τὸ ὅλον διαιρεθέντων τῶν μερῶν μεῖζον φαίνεσθαι· τῶν αὐτῶν γὰρ ὄντων αὐτῶν τὸ μὲν ὅλον τὴν τοῦ μεγέθους ἔχει μᾶλλον φύσιν, συνεχὲς ὄν, τὰ δὲ μέρη τὴν τοῦ ἀριθμοῦ.
그러므로 부분이 분할되었을 때 전체가 더 커 보이는 것은 당연하다. 왜냐하면 그것들이 동일한 것일지라도, 전체는 연속적이므로 더 크기의 성질을 가지는 반면, 부분들은 수의 성질을 가지기 때문이다.