§15.1Διὰ τί διάμετρος καλεῖται μόνη τῶν δίχα διαιρουσῶν τὰ εὐθύγραμμα ἡ ἐκ γωνίας εἰς γωνίαν ἀχθεῖσα γραμμή;
なぜ、直線で囲まれた図形を二等分するもののうち、角から角へと引かれた直線だけが対角線と呼ばれるのか。
ἢ ὅτι διάμετρος δίχα διαιρεῖ, καθάπερ τοὔνομα ὑποσημαίνει, οὐ φθείρουσα τὸ μετρούμενον;
あるいは、対角線（ディアメトロス）は、その名が暗示するように、測られるものを損なうことなく二等分するからだろうか。
ἡ μὲν οὖν κατὰ τὰς συνθέσεις διαιροῦσα (λέγω δὲ τὰς γωνίας) διάμετρος ἔσται·
それゆえ、接合部（私の言うのは角のことである）において分割する線が対角線となる。
οὐ γὰρ φθείρει, ἀλλὰ διαιρεῖ, καθάπερ οἱ τὰ στρατιωτικὰ σκεύη διαιροῦντες.
なぜなら、それは損なうのではなく分割するのであって、軍用の備品を分配する人々のようだからである。
ἡ δὲ κατὰ τὰς γραμμὰς σύνθετα τέμνουσα φθείρει·
他方、辺（線）において結合されたものを切断する線は損なってしまう。
σύγκειται γὰρ τὸ εὐθύγραμμον κατὰ τὰς γωνίας.
なぜなら、直線で囲まれた図形は角において合成されているからである。
§15.2Διὰ τί διάμετρος καλεῖται;
なぜ対角線と呼ばれるのか。
ἢ ὅτι δίχα μόνη διαιρεῖ;
あるいは、それだけが二等分するからか。
ὥσπερ οὖν εἴ τις εἴποι διχάμετρός ἐστιν.
まるで「二等分計」とでも言うかのように。
καὶ διότι μόνη τῶν δίχα τοῦτο καλεῖται.
また、二等分するもののうち、これだけがそう呼ばれるからだろうか。
ἢ ὅτι κατὰ μέλη ᾗ κέκαμπται μόνη διαιρεῖ, αἱ δὲ ἄλλαι κατὰ πλευράς;
あるいは、（図形が）屈曲している部分、すなわち関節において分割するのはこれだけであり、他の線は辺において分割するからだろうか。
§15.3Διὰ τί πάντες ἄνθρωποι, καὶ βάρβαροι καὶ Ἕλληνες, εἰς τὰ δέκα καταριθμοῦσι, καὶ οὐκ εἰς ἄλλον ἀριθμόν, οἷον β′, γ′, δ′, ε′, εἶτα πάλιν ἐπαναδιπλοῦσιν, ἓν πέντε, δύο πέντε, ὥσπερ ἕνδεκα, δώδεκα;
なぜすべての人間は、バルバロイもギリシア人も、十まで数え、他の数、たとえば2、3、4、5まで数えてから再び繰り返して「5と1」「5と2」（11や12のように）というようにしないのだろうか。
οὐδ’ αὖ ἐξωτέρω παυσάμενοι τῶν δέκα, εἶτα ἐκεῖθεν ἐπαναδιπλοῦσιν;
あるいはまた、十より先で数えるのを止めて、そこから繰り返すこともしないのだろうか。
ἔστι μὲν γὰρ ἕκαστος τῶν ἀριθμῶν ὁ ἔμπροσθεν καὶ ἓν ἢ δύο, καὶ οὕτως ἄλλος τις, ἀριθμοῦσι δ’ ὅμως ὁρίσαντες ἄχρι τῶν δέκα.
というのも、それぞれの数は前の数に1または2、あるいはそのようにして何か他の数を加えたものであるが、それにもかかわらず彼らは十を限度と定めて数えるからである。
οὐ γὰρ δὴ ἀπὸ τύχης γε αὐτὸ ποιοῦντες φαίνονται καὶ ἀεί·
なぜなら、彼らがそうしているのは偶然によるのではなく、常にそうしているからである。
τὸ δὲ ἀεὶ καὶ ἐπὶ πάντων οὐκ ἀπὸ τύχης, ἀλλὰ φυσικόν.
そして常に、かつすべての人において生じることは、偶然ではなく自然なことである。
πότερον ὅτι τὰ δέκα τέλειος ἀριθμός;
十が完全な数だからだろうか。
ἔχων γὰρ πάντα τὰ τοῦ ἀριθμοῦ εἴδη, ἄρτιον, περιττόν, τετράγωνον, κύβον, μῆκος ἐπίπεδον, πρῶτον σύνθετον.
というのも、それは数のあらゆる種類、すなわち偶数、奇数、平方数、立方数、平面数、最初の合成数を含んでいるからである。
ἢ ὅτι ἀρχὴ ἡ δεκάς;
あるいは、十が原理だからだろうか。
ἓν γὰρ καὶ δύο καὶ τρία καὶ τέτταρα γίνεται δεκάς.
なぜなら、1と2と3と4が十になるからである。
ἢ ὅτι τὰ φερόμενα σώματα ἐννέα;
あるいは、運行する天体が九つだからだろうか。
ἢ ὅτι ἐν δέκα ἀναλογίαις τέτταρες κυβικοὶ ἀριθμοὶ ἀποτελοῦνται, ἐξ ὧν φασὶν ἀριθμῶν οἱ Πυθαγόρειοι τὸ πᾶν συνεστάναι;
あるいは、十の比例関係において四つの立方数が形成され、ピタゴラス派の人々は宇宙がそれらの数から構成されていると言うからだろうか。
ἢ ὅτι πάντες ὑπῆρξαν ἄνθρωποι ἔχοντες δέκα δακτύλους;
あるいは、すべての人間が生来十本の指を持っているからだろうか。
οἷον οὖν ψήφους ἔχοντες τοῦ οἰκείουἀριθμοῦ, τούτῳ τῷ πλήθει καὶ τὰ ἄλλα ἀριθμοῦσιν.
それゆえ、自分自身に備わった数の計算石を持っているかのように、この数によって他のものをも数えるのである。
μόνοι δὲ ἀριθμοῦσι τῶν Θρᾳκῶν γένος τι εἰς τέτταρα, διὰ τὸ ὥσπερ τὰ παιδία μὴ δύνασθαι μνημονεύειν ἐπὶ πολύ, μηδὲ χρῆσιν μηδενὸς εἶναι πολλοῦ αὐτοῖς.
ただし、トラキア人のある部族だけは四までしか数えないが、それは子供たちのように長く記憶することができず、また彼らにとって多くのものを使用する必要がないからである。
§15.4† ὅτι ἡ γῆ κέντρον·
† 地球が中心であること。
ἀεὶ γὰρ ὅμοια τὰ φαινόμενα ἡμῖν σχήματα.
なぜなら、私たちに見える形は常に同様だからである。
δοκεῖ τοῦτο εἶναι, ἐὰν μὴ ἀπὸ τοῦ μέσου τις θεωρῇ, ἀλλ’ ὁτὲ μὲν τρίγωνα, ὁτὲ δὲ τραπέζια, ὁτὲ δὲ ἀλλοῖα ἐδόκει ἡ γῆ μέσον ἡμῖν, εἰ ἀπὸ τούτων ἔνι ἡμᾶς θεωρεῖν.
もし中心から観察しないのであれば、ある時は三角形に、ある時は台形に、またある時は別の形に見えると思われるだろう。
οὔσης γὰρ σφαιροειδοῦς τῆς γῆς ταὐτὸ κέντρον τούτου καὶ τῆς γῆς ἔσται.
しかし、もしこれらから私たちが観察できるのであれば、地球は私たちにとって中心に位置していると思われる。
ἡμεῖς δὲ ἐπάνω τῆς γῆς οἰκοῦμεν, ὥστε οὐκ ἀπὸ τούτου, ἀλλὰ τὸ ἥμισυ τῆς διαμέτρου ἀφεστῶσιν ἡμῖν τοιαῦτα φαίνεται.
なぜなら、地球が球状であるため、これ（宇宙）の中心と地球の中心は同一になるからである。
τί οὖν κωλύει πλέονος γινομένου τοῦ διαστήματος διαμένειν τὴν τῶν σχημάτων φαντασίαν;
しかし私たちは地球の上に住んでいるため、中心からではなく、半径（直径の半分）だけ離れた私たちにとっても、そのように見えるのである。 では、距離がより大きくなっても、それらの形の現れが変わらずにとどまることを、何が妨げるだろうか。