§15.1Διὰ τί διάμετρος καλεῖται μόνη τῶν δίχα διαιρουσῶν τὰ εὐθύγραμμα ἡ ἐκ γωνίας εἰς γωνίαν ἀχθεῖσα γραμμή;
为什么在将直线图形二等分的线中，只有从角到角引出的线被称为对角线？
ἢ ὅτι διάμετρος δίχα διαιρεῖ, καθάπερ τοὔνομα ὑποσημαίνει, οὐ φθείρουσα τὸ μετρούμενον;
或者是因为对角线正如其名称所暗示的那样，在不损毁被测物的情况下将其二等分？
ἡ μὲν οὖν κατὰ τὰς συνθέσεις διαιροῦσα (λέγω δὲ τὰς γωνίας) διάμετρος ἔσται· οὐ γὰρ φθείρει, ἀλλὰ διαιρεῖ, καθάπερ οἱ τὰ στρατιωτικὰ σκεύη διαιροῦντες.
因此，在接合处（我指的是角）进行分割的线就是对角线；因为它不损毁而是分割，就像分配军用装备的人一样。
ἡ δὲ κατὰ τὰς γραμμὰς σύνθετα τέμνουσα φθείρει· σύγκειται γὰρ τὸ εὐθύγραμμον κατὰ τὰς γωνίας.
另一方面，沿着边（线）切开合成部分的线会将其损毁；因为直线图形是在角上合成的。
§15.2Διὰ τί διάμετρος καλεῖται;
为什么它被称为对角线？
ἢ ὅτι δίχα μόνη διαιρεῖ;
是因为只有它能将其二等分吗？
ὥσπερ οὖν εἴ τις εἴποι διχάμετρός ἐστιν.
就好像有人说它是“二分计”一样。
καὶ διότι μόνη τῶν δίχα τοῦτο καλεῖται.
而且在二等分线中，只有它被这样称呼。
ἢ ὅτι κατὰ μέλη ᾗ κέκαμπται μόνη διαιρεῖ, αἱ δὲ ἄλλαι κατὰ πλευράς;
或者是因为只有它在弯曲的关节处进行分割，而其他的线则是沿着边进行分割？
§15.3Διὰ τί πάντες ἄνθρωποι, καὶ βάρβαροι καὶ Ἕλληνες, εἰς τὰ δέκα καταριθμοῦσι, καὶ οὐκ εἰς ἄλλον ἀριθμόν, οἷον β′, γ′, δ′, ε′, εἶτα πάλιν ἐπαναδιπλοῦσιν, ἓν πέντε, δύο πέντε, ὥσπερ ἕνδεκα, δώδεκα;
为什么所有人，无论是蛮族人还是希腊人，都数到十，而不是数到其他数字，比如二、三、四、五，然后再次重复，说“五一”、“五二”，就像说“十一”、“十二”那样？
οὐδ’ αὖ ἐξωτέρω παυσάμενοι τῶν δέκα, εἶτα ἐκεῖθεν ἐπαναδιπλοῦσιν;
又或者，他们也不在超过十的地方停止，然后从那里开始重复？
ἔστι μὲν γὰρ ἕκαστος τῶν ἀριθμῶν ὁ ἔμπροσθεν καὶ ἓν ἢ δύο, καὶ οὕτως ἄλλος τις, ἀριθμοῦσι δ’ ὅμως ὁρίσαντες ἄχρι τῶν δέκα.
因为实际上，每个数字都是前一个数字加上一或二，以此类推得到其他数字，但他们仍然将界限定在十来进行计数。
οὐ γὰρ δὴ ἀπὸ τύχης γε αὐτὸ ποιοῦντες φαίνονται καὶ ἀεί· τὸ δὲ ἀεὶ καὶ ἐπὶ πάντων οὐκ ἀπὸ τύχης, ἀλλὰ φυσικόν.
因为他们显然不是偶然如此，而是始终如此；而在所有情况下始终发生的事情并非出于偶然，而是出于自然。
πότερον ὅτι τὰ δέκα τέλειος ἀριθμός;
是因为十是一个完全数吗？
ἔχων γὰρ πάντα τὰ τοῦ ἀριθμοῦ εἴδη, ἄρτιον, περιττόν, τετράγωνον, κύβον, μῆκος ἐπίπεδον, πρῶτον σύνθετον.
因为它包含了数的所有种类：偶数、奇数、平方数、立方数、平面长方形数、以及第一个合成数。
ἢ ὅτι ἀρχὴ ἡ δεκάς;
或者是因为十是一个本原？
ἓν γὰρ καὶ δύο καὶ τρία καὶ τέτταρα γίνεται δεκάς.
因为一、二、三和四相加就组成了十。
ἢ ὅτι τὰ φερόμενα σώματα ἐννέα;
或者是因为运行的天体有九个？
ἢ ὅτι ἐν δέκα ἀναλογίαις τέτταρες κυβικοὶ ἀριθμοὶ ἀποτελοῦνται, ἐξ ὧν φασὶν ἀριθμῶν οἱ Πυθαγόρειοι τὸ πᾶν συνεστάναι;
或者是由于在十个比例中完成了四个立方数，毕达哥拉斯学派声称宇宙就是由这些数字组成的？
ἢ ὅτι πάντες ὑπῆρξαν ἄνθρωποι ἔχοντες δέκα δακτύλους;
或者是因为所有人天生都有十根手指？
οἷον οὖν ψήφους ἔχοντες τοῦ οἰκείουἀριθμοῦ, τούτῳ τῷ πλήθει καὶ τὰ ἄλλα ἀριθμοῦσιν.
因此，就好像拥有他们自己数量的算石一样，他们用这个数量来计算其他事物。
μόνοι δὲ ἀριθμοῦσι τῶν Θρᾳκῶν γένος τι εἰς τέτταρα, διὰ τὸ ὥσπερ τὰ παιδία μὴ δύνασθαι μνημονεύειν ἐπὶ πολύ, μηδὲ χρῆσιν μηδενὸς εἶναι πολλοῦ αὐτοῖς.
唯独色雷斯人的某个部落只数到四，因为他们像小孩子一样无法记住太远的事情，而且他们不需要使用任何大量的物品。
§15.4† ὅτι ἡ γῆ κέντρον· ἀεὶ γὰρ ὅμοια τὰ φαινόμενα ἡμῖν σχήματα.
† 地球是中心；因为对我们显现的形状总是相似的。
δοκεῖ τοῦτο εἶναι, ἐὰν μὴ ἀπὸ τοῦ μέσου τις θεωρῇ, ἀλλ’ ὁτὲ μὲν τρίγωνα, ὁτὲ δὲ τραπέζια, ὁτὲ δὲ ἀλλοῖα ἐδόκει ἡ γῆ μέσον ἡμῖν, εἰ ἀπὸ τούτων ἔνι ἡμᾶς θεωρεῖν.
似乎就是这样；如果一个人不从中心观察，而是有时呈现三角形，有时呈现梯形，有时呈现其他形状，那么如果我们能从这些来进行观察，地球对我们来说似乎就处于中心。
οὔσης γὰρ σφαιροειδοῦς τῆς γῆς ταὐτὸ κέντρον τούτου καὶ τῆς γῆς ἔσται.
因为既然地球是球形的，这（宇宙）的中心和地球的中心就会是同一个。
ἡμεῖς δὲ ἐπάνω τῆς γῆς οἰκοῦμεν, ὥστε οὐκ ἀπὸ τούτου, ἀλλὰ τὸ ἥμισυ τῆς διαμέτρου ἀφεστῶσιν ἡμῖν τοιαῦτα φαίνεται.
但我们居住在地球表面上，因此并非从这个（中心）出发，而是对于离中心相当于半径（直径的一半）距离的我们来说，它们显现为这样。
τί οὖν κωλύει πλέονος γινομένου τοῦ διαστήματος διαμένειν τὴν τῶν σχημάτων φαντασίαν;
那么，当距离变得更大时，又有什么能阻止这些形状的显现保持不变呢？