§15.1Διὰ τί διάμετρος καλεῖται μόνη τῶν δίχα διαιρουσῶν τὰ εὐθύγραμμα ἡ ἐκ γωνίας εἰς γωνίαν ἀχθεῖσα γραμμή;
왜 직선으로 둘러싸인 도형을 양분하는 선들 중에서 각에서 각으로 그어진 선만이 대각선이라 불리는가?
ἢ ὅτι διάμετρος δίχα διαιρεῖ, καθάπερ τοὔνομα ὑποσημαίνει, οὐ φθείρουσα τὸ μετρούμενον;
아니면 대각선은 그 이름이 암시하듯 측정되는 것을 손상시키지 않고 양분하기 때문인가?
ἡ μὲν οὖν κατὰ τὰς συνθέσεις διαιροῦσα (λέγω δὲ τὰς γωνίας) διάμετρος ἔσται·
그러므로 접합부(내 말은 각을 뜻한다)에서 분할하는 선이 대각선이 될 것이다.
οὐ γὰρ φθείρει, ἀλλὰ διαιρεῖ, καθάπερ οἱ τὰ στρατιωτικὰ σκεύη διαιροῦντες.
왜냐하면 그것은 손상시키지 않고 분할하는 것이며, 마치 군용 장비를 분배하는 사람들과 같기 때문이다.
ἡ δὲ κατὰ τὰς γραμμὰς σύνθετα τέμνουσα φθείρει·
반면에 변(선)을 따라 합성된 부분을 자르는 선은 그것을 손상시킨다.
σύγκειται γὰρ τὸ εὐθύγραμμον κατὰ τὰς γωνίας.
왜냐하면 직선으로 둘러싸인 도형은 각에서 합성되어 있기 때문이다.
§15.2Διὰ τί διάμετρος καλεῖται;
왜 대각선이라 불리는가?
ἢ ὅτι δίχα μόνη διαιρεῖ;
아니면 오직 그것만이 양분하기 때문인가?
ὥσπερ οὖν εἴ τις εἴποι διχάμετρός ἐστιν.
마치 누군가 그것을 '이분계'라고 부르는 것처럼 말이다.
καὶ διότι μόνη τῶν δίχα τοῦτο καλεῖται.
그리고 양분하는 것들 중에서 오직 이것만이 이렇게 불리기 때문인가?
ἢ ὅτι κατὰ μέλη ᾗ κέκαμπται μόνη διαιρεῖ, αἱ δὲ ἄλλαι κατὰ πλευράς;
아니면 오직 그것만이 꺾여 있는 마디(지체)에서 분할하고, 다른 선들은 변을 따라 분할하기 때문인가?
§15.3Διὰ τί πάντες ἄνθρωποι, καὶ βάρβαροι καὶ Ἕλληνες, εἰς τὰ δέκα καταριθμοῦσι, καὶ οὐκ εἰς ἄλλον ἀριθμόν, οἷον β′, γ′, δ′, ε′, εἶτα πάλιν ἐπαναδιπλοῦσιν, ἓν πέντε, δύο πέντε, ὥσπερ ἕνδεκα, δώδεκα;
왜 모든 인간은 야만인이든 그리스인이든 십까지 세고, 다른 수, 예컨대 이, 삼, 사, 오까지 세고 나서 다시 반복하여 '오와 일', '오와 이'(십일, 십이처럼)라고 하지 않는가?
οὐδ’ αὖ ἐξωτέρω παυσάμενοι τῶν δέκα, εἶτα ἐκεῖθεν ἐπαναδιπλοῦσιν;
아니면 십을 넘어서 멈춘 뒤 거기서부터 반복하지도 않는가?
ἔστι μὲν γὰρ ἕκαστος τῶν ἀριθμῶν ὁ ἔμπροσθεν καὶ ἓν ἢ δύο, καὶ οὕτως ἄλλος τις, ἀριθμοῦσι δ’ ὅμως ὁρίσαντες ἄχρι τῶν δέκα.
왜냐하면 각각의 수는 앞선 수에 일 또는 이를 더한 것, 그리고 그런 식으로 다른 어떤 수이지만, 그럼에도 그들은 십까지로 한계를 정해서 세기 때문이다.
οὐ γὰρ δὴ ἀπὸ τύχης γε αὐτὸ ποιοῦντες φαίνονται καὶ ἀεί·
왜냐하면 그들이 이 일을 우연히 하는 것이 아님은 늘 그렇게 하는 데서 드러나기 때문이다.
τὸ δὲ ἀεὶ καὶ ἐπὶ πάντων οὐκ ἀπὸ τύχης, ἀλλὰ φυσικόν.
그리고 늘 모든 이에게 일어나는 일은 우연이 아니라 자연스러운 것이다.
πότερον ὅτι τὰ δέκα τέλειος ἀριθμός;
십이 완전한 수이기 때문인가?
ἔχων γὰρ πάντα τὰ τοῦ ἀριθμοῦ εἴδη, ἄρτιον, περιττόν, τετράγωνον, κύβον, μῆκος ἐπίπεδον, πρῶτον σύνθετον.
그것은 수의 모든 종류, 즉 짝수, 홀수, 제곱수, 세제곱수, 평면수, 최초의 합성수를 포함하고 있기 때문이다.
ἢ ὅτι ἀρχὴ ἡ δεκάς;
아니면 십이 원리이기 때문인가?
ἓν γὰρ καὶ δύο καὶ τρία καὶ τέτταρα γίνεται δεκάς.
일과 이와 삼과 사가 십이 되기 때문이다.
ἢ ὅτι τὰ φερόμενα σώματα ἐννέα;
아니면 운행하는 천체가 아홉 개이기 때문인가?
ἢ ὅτι ἐν δέκα ἀναλογίαις τέτταρες κυβικοὶ ἀριθμοὶ ἀποτελοῦνται, ἐξ ὧν φασὶν ἀριθμῶν οἱ Πυθαγόρειοι τὸ πᾶν συνεστάναι;
아니면 십의 비율 안에서 네 개의 세제곱수가 완성되며, 피타고라스 학파는 이 수들로부터 온 우주가 구성되어 있다고 말하기 때문인가?
ἢ ὅτι πάντες ὑπῆρξαν ἄνθρωποι ἔχοντες δέκα δακτύλους;
아니면 모든 인간이 본래 열 개의 손가락을 가지고 있었기 때문인가?
οἷον οὖν ψήφους ἔχοντες τοῦ οἰκείουἀριθμοῦ, τούτῳ τῷ πλήθει καὶ τὰ ἄλλα ἀριθμοῦσιν.
그러므로 자신들의 수에 맞는 계산석을 가지고 있는 것처럼, 이 수량을 가지고 다른 것들도 세는 것이다.
μόνοι δὲ ἀριθμοῦσι τῶν Θρᾳκῶν γένος τι εἰς τέτταρα, διὰ τὸ ὥσπερ τὰ παιδία μὴ δύνασθαι μνημονεύειν ἐπὶ πολύ, μηδὲ χρῆσιν μηδενὸς εἶναι πολλοῦ αὐτοῖς.
오직 트라키아인의 어떤 부족만이 사까지 세는데, 이는 아이들처럼 멀리 기억하지 못하고, 그들에게 많은 양의 물건을 사용할 일이 없기 때문이다.
§15.4† ὅτι ἡ γῆ κέντρον·
† 지구는 중심이다.
ἀεὶ γὰρ ὅμοια τὰ φαινόμενα ἡμῖν σχήματα.
왜냐하면 우리에게 보이는 모양들이 늘 유사하기 때문이다.
δοκεῖ τοῦτο εἶναι, ἐὰν μὴ ἀπὸ τοῦ μέσου τις θεωρῇ, ἀλλ’ ὁτὲ μὲν τρίγωνα, ὁτὲ δὲ τραπέζια, ὁτὲ δὲ ἀλλοῖα ἐδόκει ἡ γῆ μέσον ἡμῖν, εἰ ἀπὸ τούτων ἔνι ἡμᾶς θεωρεῖν.
이것이 사실인 듯하다.
οὔσης γὰρ σφαιροειδοῦς τῆς γῆς ταὐτὸ κέντρον τούτου καὶ τῆς γῆς ἔσται.
만약 누군가 중심에서 관찰하지 않는다면, 때로는 삼각형이, 때로는 사다리꼴이, 때로는 다른 모양들이 보일 터이나, 만약 이것들로부터 우리가 관찰할 수 있다면 지구는 우리에게 중심에 있는 것으로 보일 것이다.
ἡμεῖς δὲ ἐπάνω τῆς γῆς οἰκοῦμεν, ὥστε οὐκ ἀπὸ τούτου, ἀλλὰ τὸ ἥμισυ τῆς διαμέτρου ἀφεστῶσιν ἡμῖν τοιαῦτα φαίνεται.
왜냐하면 지구가 구형이므로, 이것(우주)의 중심과 지구의 중심은 동일할 것이기 때문이다.
τί οὖν κωλύει πλέονος γινομένου τοῦ διαστήματος διαμένειν τὴν τῶν σχημάτων φαντασίαν;
그런데 우리는 지구 위에 살고 있으므로, 이(중심)로부터가 아니라, 지름의 절반만큼 떨어져 있는 우리에게도 그렇게 보이는 것이다. 그렇다면 거리가 더 멀어진다 해도 그 모양들의 보임이 그대로 유지되는 것을 무엇이 막겠는가?