§3.5#2ἐπεὶ οὖν ἡ Δ οὔτε πρὸς ἔλαττον τοῦ ΜΠ οὔτε πρὸς μείζω (ὁμοίως γὰρ δειχθήσεται), δῆλον ὅτι πρὸς αὐτὴν ἂν εἴη τὴν ἐφ᾿ ᾗ Μ Π. ὥστ᾿ ἔσται ὅπερ ἡ ΜΠ πρὸς ΠΚ, ἡ ΠΗ πρὸς τὴν ΜΠ.
それゆえ、 Δ は MΠ より小さいものに対しても、より大きいものに対しても比を持たないので（同様に示されるであろうから）、それが MΠ そのものに対する比であることは明らかである。 したがって、MΠ の ΠK に対する比は、ΠH の MΠ に対する比に等しくなる。
ἐὰν οὖν τῷ ἐφ᾿ ᾧ τὸ πόλῳ χρώμενος, διαστήματι δὲ τῷ ἐφ᾿ ᾧ Μ Π, κύκλος γραφῇ, ἁπασῶν ἐφάψεται τῶν γωνιῶν ἃς ἀνακλώμεναι ποιοῦσιν αἱ ἀπὸ τοῦ ΜΑ κύκλου·
それゆえ、もし Π のある点を極とし、MΠ のある長さを半径として円が描かれるならば、それは MA 円から反射されて作られるすべての角に接するであろう。
εἰ δὲ μή, ὁμοίως δειχθήσονται τὸν αὐτὸν ἔχουσαι λόγον αἱ ἄλλοθι καὶ ἄλλοθι τοῦ ἡμικυκλίου συνιστάμεναι, ὅπερ ἦν ἀδύνατον.
もしそうでなければ、半円のあちこちに構成される直線群が同じ比を持つことが同様に示されることになるが、これは不可能であった。
ἐὰν οὖν περιαγάγῃς τὸ ἡμικύκλιον τὸ ἐφ᾿ ᾧ τὸ Α περὶ τὴν ἐφ᾿ ᾗ Η Κ Π διάμετρον, αἱ ἀπὸ τοῦ ΗΚ ἀνακλώμεναι πρὸς τὸ ἐφ᾿ ᾧ τὸ Μ ἐν πᾶσι τοῖς ἐπιπέδοις ὁμοίως ἕξουσι, καὶ ἴσην ποιήσουσι γωνίαν τὴν ΚΜ καὶ ἣν ποιήσουσι δὲ γωνίαν αἱ ΗΠ καὶ ΜΠ ἐπὶ τῆς ΗΠ, ἀεὶ ἴση ἔσται.
それゆえ、もし A のある半円を HKΠ のある直径の周りに回転させるならば、HK から M のある点へと反射される直線群は、すべての平面において同様の状態にあり、等しい角を作るであろう。 そして、KM となす角、および HΠ の上で HΠ と MΠ が作る角は、常に等しくなる。
τρίγωνα οὖν ἐπὶ τῆς ΗΠ καὶ ΚΠ ἴσα τῷ ΗΜΠ ΚΜΠ συνεστήκασι.
したがって、HΠ と KΠ の上に、HMΠ および KMΠ と等しい三角形群が構成される。
τούτων δὲ αἱ κάθετοι ἐπὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον πεσοῦνται τῆς ΗΠ καὶ ἴσαι ἔσονται.
これらの三角形の垂線は、HΠ の同じ点に落ち、かつ等しくなる。
πιπτέτωσαν ἐπὶ τὸ Ο. κέντρον ἄρα τοῦ κύκλου τὸ Ο, ἡμικύκλιον δὲ τὸ περὶ τὴν ΜΝ ἀφῄρηται ἀπὸ τοῦ ὁρίζοντος·
それらが O に落ちるとせよ。 したがって、その円の中心は O であり、MN の周りの半円は地平線によって切り取られている。
τῶν μὲν γὰρ ἄνω τὸν ἥλιον οὐ κρατεῖν, τῶν δὲ προσπτεριζομένων κρατεῖν, καὶ διαχεῖν τὸν ἀέρα·
なぜなら、太陽は上方のものを支配できないが、湿気を受けるものを支配し、空気を散らすからである。
καὶ διὰ τοῦτο τὴν ἶριν οὐ συμβάλλειν τὸν κύκλον·
そしてこのために、虹は円を完成しない。
γίγνεσθαι δὲ καὶ νύκτωρ ἀπὸ τῆς σελήνης ὀλιγάκις·
また、夜間に月によって虹が生じることは稀である。
οὔτε γὰρ ἀεὶ πλήρης, ἀσθενεστέρα τε τὴν φύσιν ὥστε κρατεῖν τοῦ ἀέρος·
なぜなら、月は常に満月であるわけではなく、また本性上、空気を支配するには弱すぎるからである。
μάλιστα δ᾿ ἵστασθαι τὴν ἶριν, ὅπου μάλιστα κρατεῖται ὁ ἥλιος·
そして虹は、太陽が最も支配される場所に最もよく現れる。
πλείστη γὰρ ἐν αὐτῇ ἰκμὰς ἐνέμεινεν.
なぜなら、そこには最も多くの湿気が残るからである。
πάλιν ἔστω ὁρίζων μὲν ἐφ᾿ οὗ τὸ ΑΚΓ, ἐπανατεταλκέτω δὲ τὸ Η, ὁ δ᾿ ἄξων ἔστω νῦν ἐφ᾿ οὗ τὸ ΗΠ. τὰ μὲν οὖν ἄλλα πάντα ὁμοίως δειχθήσεται ὡς καὶ πρότερον, ὁ δὲ πόλος τοῦ κύκλου ὁ ἐφ᾿ Π κάτω ἔσται τοῦ ὁρίζοντος τοῦ ἐφ᾿ τὸ ΑΓ, ἀρθέντος τοῦ ἐφ᾿ ᾧ τὸ Η σημείου.
再び、地平線を AKΓ のあるものとし、H が昇っているとし、軸は今度は HΠ のあるものとせよ。 したがって、他のすべてのことは前と同様に示されるであろうが、H のある点が上昇したため、Π のある円の極は、AΓ のある地平線の下に来る。
ἐπὶ δὲ τῆς αὐτῆς ὅ τε πόλος καὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου καὶ τὸ τοῦ ὁρίζοντος νῦν τὴν ἀνατολήν·
そして、同じ直線の上に極と円の中心と地平線の中心とがあり、いまやそれは東の方を向いている。
ἔστι γὰρ οὗτος ἐφ᾿ ᾧ τὸ HΠ. ἐπεὶ δὲ τῆς διαμέτρου τῆς ΑΓ τὸ ΚΗ ἐπάνω, τὸ κέντρον εἴη ἂν ὑποκάτω τοῦ ὁρίζοντος πρότερον τοῦ ἐφ᾿ ᾧ τὸ ΑΓ, ἐπὶ τῆς ΚΠ γραμμῆς, ἐφ᾿ οὗ τὸ Β. ὥστ᾿ ἔλαττον ἔσται τὸ ἐπάνω τμῆμα ἡμικυκλίου τὸ ἐφ᾿ ᾧ Ψ Υ·
なぜなら、この直線が HΠ のあるものだからである。 しかし、直径 AΓ より上に KH があるため、その中心は、以前の AΓ のある地平線より下で、KΠ 線上の B のある点にあることになる。 したがって、地上の部分である ΨY のある部分は半円より小さくなる。
τὸ γὰρ ΨΥΟ ἡμικύκλιον ἦν, νῦν δὲ ἀποτέτμηται ἀπὸ τοῦ ΑΓ ὁρίζοντος.
なぜなら、ΨYO は半円であったが、今や AΓ 地平線によって切り取られているからである。
τὸ δὴ ΟΥ ἀφανὲς ἔσται αὐτοῦ, ἐπαρθέντος τοῦ ἡλίου·
したがって、太陽が上昇するにつれて、そのうちの OY は見えなくなる。
ἐλάχιστον δ᾿, ὅταν ἐπὶ μεσημβρίας·
そして、天体が子午線上に来るときに最小となる。
ὅσον γὰρ ἀνώτερον τὸ Η, κατώτερον ὅ τε πόλος καὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἔσται.
なぜなら、H が高くなればなるほど、極と円の中心は低くなるからである。
ὅτι δ᾿ ἐν μὲν ταῖς ἐλάττοσιν ἡμέραις ταῖς μετ᾿ ἰσημερίαν τὴν μετοπωρινὴν ἐνδέχεται ἀεὶ γίγνεσθαι ἶριν, ἐν δὲ ταῖς μακροτέραις ἡμέραις ταῖς ἀπὸ ἰσημερίας τῆς ἑτέρας ἐπὶ τὴν ἰσημερίαν τὴν ἑτέραν περὶ μεσημβρίαν οὐ γίγνεται ἶρις, αἴτιον ὅτι τὰ μὲν πρὸς ἄρκτον τμήματα πάντα μείζω ἡμικυκλίου καὶ ἀεὶ ἐπὶ μείζω ἡμικυκλίου, τὸ δ᾿ ἀφανὲς μικρόν, τὰ δὲ πρὸς μεσημβρίαν τμήματα τοῦ ἰσημερινοῦ, τὸ μὲν ἄνω τμῆμα μικρόν, τὸ δ᾿ ὑπὸ γῆν μέγα, καὶ ἀεὶ δὴ μείζω τὰ πορρώτερα·
秋分後の日の短い日々においては常に虹が生じうるのに対して、他方の分点（春分）からもう一方の分点（秋分）にいたる日の長い日々においては、子午線付近（正午頃）には虹が生じないことの理由は、北寄りのすべての弓形は半円より大きく、常に半円より大きい部分を動き、見えない部分は小さいのに対して、天の赤道より南寄りの弓形は、地上の部分は小さく、地底の部分は大きく、より遠くになるほど常に大きくなるからである。
ὥστ᾿ ἐν μὲν ταῖς πρὸς θερινὰς τροπὰς ἡμέραις διὰ τὸ μέγεθος τοῦ τμήματος, πρὶν ἐπὶ τὸ μέσον ἐλθεῖν τοῦ τμήματος καὶ ἐπὶ τὸν μεσημβρινὸν τὴν τὸ Η, κάτω ἤδη τελέως γίγνεται ἡ τὸ Π, διὰ τὸ πόρρω ἀφεστάναι τῆς γῆς τὴν μεσημβρίαν διὰ τὸ μέγεθος τοῦ τμήματος.
それゆえ、夏至に近い日々においては、その弓形の大きさのために、H が弓形の中央および子午線に達する前に、Π はすでに完全に地平線の下に沈んでしまう。 なぜなら、弓形の大きさのために、子午線の位置が地球から遥か遠くに離れるからである。
ἐν δὲ ταῖς πρὸς τὰς χειμερινὰς τροπὰς ἡμέραις, διὰ τὸ μὴ πολὺ ὑπὲρ γῆς εἶναι τὰ τμήματα τῶν κύκλων, τοὐναντίον ἀναγκαῖον γίγνεσθαι·
これに対して、冬至に近い日々においては、円の弓形が地上のそれほど高くないところにあるために、逆のことが起こるのが必然である。
βραχὺ γὰρ ἀρθείσης τῆς ἐφ᾿ ᾧ τὸ Η, ἐπὶ τῆς μεσημβρίας γίγνεται ὁ ἥλιος.
なぜなら、H のある点がわずかに上昇しただけで、太陽は子午線に達するからである。