§3.5#15 ὅτι δ᾿ οὔτε κύκλον σἷόν τε γενέσθαι τῆς ἴριδος οὔτε μεῖζον ἡμικυκλίου τμῆμα, καὶ περὶ τῶν ἄλλων τῶν συμβαινόντων περὶ αὐτήν, ἐκ τοῦ διαγράμματος ἔσται θεωροῦσι δῆλον.
5 虹が円になることも、半円より大きな弓形になることも不可能であること、また、それに関して起こる他の現象については、図形を考察する者には明らかになるであろう。
ἡμισφαιρίου γὰρ ὄντος ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος κύκλου τοῦ ἐφ᾿ ᾧ τὸ Α, κέντρου δὲ τοῦ Κ, ἄλλου δέ τινος ἀνατέλλοντος σημείου ἐφ᾿ ᾧ τὸ Η, ἐὰν ἀπὸ τοῦ Κ γραμμαὶ κατὰ κῶνον ἐκπίπτουσαι ποιῶσιν ὡσπερεὶ ἄξονα τὴν ἐφ᾿ ᾗ ΗΚ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ ἐπιζευχθεῖσαι ἀνακλασθῶσιν ἀπὸ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπὶ τὸ Η ἐπὶ τὴν μείζω γωνίαν, πρὸς κύκλου περιφέρειαν προσπεσοῦνται αἱ ἀπὸ τοῦ Κ·
すなわち、地平線の円の上に半球があり、この円が A の位置にあり、その中心が K であり、別の昇る点が H の位置にあるとする。 もし K から円錐状に発する直線群が、HK の位置にある直線をいわば軸として作り、K から [M] へと結ばれて半球から H へとより大きな角をなして反射されるならば、K からの直線群は円の周の上に落ちるであろう。
καὶ ἐὰν μὲν ἐπ᾿ ἀνατολῆς ἢ ἐπὶ δύσεως τοῦ ἄστρου ἡ ἀνάκλασις γένηται, ἡμικύκλιον ἀποληφθήσεται τοῦ κύκλου ὑπὸ τοῦ ὁρίζοντος τὸ ὑπὲρ γῆν γιγνόμενον, ἐὰν δ᾿ ἐπάνω, ἀεὶ ἔλαττον ἡμικυκλίου· ἐλάχιστον δέ, ὅταν ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ γένηται τὸ ἄστρον.
そして、もしその天体の昇るときまたは沈むときに反射が起こるならば、地平線によって、その円の地上の部分となるものが半円として切り取られるであろう。 しかし、もし天体が地平線より上にあるならば、常に半円より小さくなり、天体が子午線上に来るときに最小となる。
ἔστω γὰρ ἐπ᾿ ἀνατολῆς πρῶτον, οὗ τὸ Η, καὶ ἀνακεκλάσθω ἡ ΚM ἐπὶ τὸ Η, καὶ τὸ ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω ἐν ᾧ ἡ Α, τὸ ἀπὸ τοῦ τριγώνου ἐν ᾧ τὸ ΗΚΜ. κύκλος οὖν ἡ τομὴ ἔσται τῆς σφαίρας ὁ μέγιστος.
まず、H のある東に天体があるとし、 KM が H へと反射されるとし、三角形 HKM から作られる平面（A がある平面）が延長されるとせよ。 したがって、球との交線は最大円となる。
ἔστω ὁ ἐφ᾿ ᾧ Α·
それを A のある円とせよ。
διοίσει γὰρ οὐδὲν ἂν ὁποιονοῦν τῶν ἐπὶ τῆς ΗΚ κατὰ τὸ τρίγωνον τὸ ΚΜΗ ἐκβληθῇ τὸ ἐπίπεδον.
というのも、HK 上のどの点を通って三角形 KMH に沿って平面が延長されても、何の違いもないからである。
αἱ οὖν ἀπὸ τῶν ἀναγόμεναι γραμμαὶ ἐν τούτῳ τῷ λόγῳ οὐ συσταθήσονται τοῦ ἐφ᾿ ᾧ Α ἡμικυκλίου πρὸς ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον·
それゆえ、[H, K] から引き出される直線群は、この比において、A のある半円の異なる点へと構成されることはない。
ἐπεὶ γὰρ τὰ τε Κ Η σημεῖα δέδοται καὶ ἡ HΚ, δεδομένη ἂν εἴη καὶ ἡ ΜΗ, ὥστε καὶ λόγος τῆς ΜΗ πρὸς ΜΚ. δεδομένης οὖν περιφερείας ἐφάψεται τὸ Μ. ἔστω δὴ αὕτη ἐφ᾿ ἧς τὰ ΝΜ·
なぜなら、 K と H の点、および HK が与えられているので、 MH も与えられており、したがって MH の MK に対する比も与えられているからである。 したがって、M は与えられた円周に接することになる。 それを NM のある円周とせよ。
ὥστε ἡ τομὴ τῶν περιφερειῶν δέδοται.
その結果、円周たちの交点は与えられている。
πρὸς ἄλλη δέ γε ἢ τῇ ΜΝ περιφερείᾳ ἀπὸ τῶν αὐτῶν σημείων ὁ αὐτὸς λόγος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὐ συνίσταται.
しかし、同じ平面において、同じ点から、MN 円周以外の別の円周に対しては、同じ比は構成されない。
ἐκκείσθω οὖν τις γραμμὴ ἡ ΔΒ, καὶ τετμήσθω ὡς ἡ ΜΗ πρὸς ΜΚ ἡ Δ πρὸς B. μείζων δὲ ἡ ΜΗ τῆς ΚΜ, ἐπείπερ ἐπὶ τὴν μείζω γωνίαν ἡ ἀνάκλασις τοῦ κώνου·
そこで、ある直線 ΔB を設定し、MH の MK に対する比が Δ の B に対する比となるように分割せよ。 ところで、MH は KM より大きい。
ὑπὸ γὰρ τὴν μείζω γωνίαν ὑποτείνει τοῦ τριγώνου.
なぜなら円錐の反射はより大きな角に対して行われるからであり、それは三角形のより大きな角に対向しているからである。
προσπεπορίσθω οὖν πρὸς τὴν B, ἐφ᾿ ἧς τὸ Ζ·
したがって、B に対して、 Z がある直線を追加せよ。
ὥστ᾿ εἶναι ὅπερ τὴν Δ πρὸς τὴν B, τὴν ΒΖ πρὸς τὴν Δ. εἶτα ὅπερ ἡ Ζ πρὸς τὴν ΚΗ, ἡ τὸ B πρὸς ἄλλην πεποιήσθω τὴν ΚΠ, καὶ ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὸ Μ ἐπεζεύχθω ἡ τὸ ΜΠ. ἔσται οὖν τὸ Π πόλος τοῦ κύκλου, πρὸς ὃν αἱ ἀπὸ τοῦ Κ γραμμαὶ προσπίπτουσιν·
それは、Δ の B に対する比が、BZ の Δ に対する比に等しくなるようにするためである。 次に、Z の KH に対する比が、B の別の直線 KΠ に対する比に等しくなるようにせよ。 そして、Π から M へと MΠ が結ばれるとせよ。 したがって、Π は K からの直線群が到達する円の極となる。
ἔσται γὰρ ὅπερ ἡ Ζ πρὸς ΚΗ, καὶ ἡ Β πρὸς ΚΠ, καὶ ἡ Δ πρὸς ΠΜ. μὴ γὰρ ἔστω, ἀλλ᾿ ἢ πρὸς ἐλάττω ἢ πρὸς μείζω τῆς ΠΜ· οὐδὲν γὰρ διοίσει.
なぜなら、 Z の KH に対する比は、B の KΠ に対する比、および Δ の ΠM に対する比に等しくなるからである。 もしそうでない（等しくない）とすれば、それは ΠM より小さいか、または大きい直線に対するものであろう（どちらでも違いはない）。
ἔστω πρὸς ΠΡ. τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον αἱ καὶ ΚΠ καὶ ἡ ΠΡ πρὸς ἀλλήλας ἕξουσιν ὃνπερ αἱ ΔΒ Ζ. αἱ δὲ Δ Β Ζ ἀνὰ λόγον ἦσαν, ὅνπερ ἡ Δ πρὸς Β, ἡ ΖΒ πρὸς Δ·
それを ΠR に対するものとせよ。 したがって、KΠ と ΠR は、Δ, B, Z が互いに対して持つ比と同じ比を、互いに対して持つことになる。 ところで、Δ, B, Z は比例関係にあり、Δ の B に対する比は、ZB の Δ に対する比に等しい。
ὥστε ὅπερ ἡ ΠΗ πρὸς τὴν ΠΡ, ἡ τὸ ΠΡ πρὸς τὴν ΠΚ. ἂν οὖν ἀπὸ τῶν Κ αἱ ΗΡ καὶ ΚΡ ἐπὶ τὸ Ρ ἐπιζευχθῶσιν, αἱ ἐπιζευχθεῖσαι αὗται τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον ὅνπερ ἡ ΗΠ πρὸς τὴν ΠΡ·
したがって、ΠH の ΠR に対する比は、ΠR の ΠK に対する比に等しい。 したがって、もし [H, ] K から HP と KP が P へと結ばれるならば、これら結ばれた直線群は、HΠ の ΠP に対する比と同じ比を持つことになる。
περὶ γὰρ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν ἀνάλογον αἵ τε τοῦ ΗΠΡ τριγώνου καὶ τοῦ ΚΡΠ. ὥστε καὶ ἡ ΠΡ πρὸς τὴν ΚΡ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, καὶ ἡ τὸ ΗΠ πρὸς τὴν ΠΡ. ἔχει δὲ καὶ ἡ ΜΗ πρὸς ΚΜ τοῦτον τὸν λόγον·
なぜなら、三角形 HPΠ と KRP において、対応する辺は同じ角を挟んで比例しているからである。 したがって、ΠR の KR に対する比も、HΠ の ΠP に対する比と同じ比を持つことになる。 ところで、MH の KM に対する比もこの比を持つ。
ὅνπερ γὰρ ἡ τὸ Δ πρὸς τὴν Β ἀμφότεραι.
なぜなら、両者は Δ の B に対する比に等しいからである。
ὥστε ἀπὸ τῶν ΗΚ σημείων οὐ μόνον πρὸς τὴν Ν περιφέρειαν συσταθήσονται τὸν αὐτὸν ἔχουσαι λόγον, ἀλλὰ καὶ ἄλλοθι·
したがって、H, K の点から、 NM 円周に対してだけでなく、他の場所に対しても同じ比を持つ直線群が構成されることになる。
ὅπερ ἀδύνατον.
しかし、これは不可能である。