§3.5#2ἐπεὶ οὖν ἡ Δ οὔτε πρὸς ἔλαττον τοῦ ΜΠ οὔτε πρὸς μείζω (ὁμοίως γὰρ δειχθήσεται), δῆλον ὅτι πρὸς αὐτὴν ἂν εἴη τὴν ἐφ᾿ ᾗ Μ Π. ὥστ᾿ ἔσται ὅπερ ἡ ΜΠ πρὸς ΠΚ, ἡ ΠΗ πρὸς τὴν ΜΠ.
그러므로, Δ는 MΠ보다 더 작은 것에 대해서도, 더 큰 것에 대해서도 비율을 가지지 않으므로(마찬가지로 증명될 것이기 때문이다), 그것이 MΠ 자체에 대한 비율임은 명백하다. 따라서 MΠ의 ΠK에 대한 비율은 ΠH의 MΠ에 대한 비율과 같을 것이다.
ἐὰν οὖν τῷ ἐφ᾿ ᾧ τὸ πόλῳ χρώμενος, διαστήματι δὲ τῷ ἐφ᾿ ᾧ Μ Π, κύκλος γραφῇ, ἁπασῶν ἐφάψεται τῶν γωνιῶν ἃς ἀνακλώμεναι ποιοῦσιν αἱ ἀπὸ τοῦ ΜΑ κύκλου·
그러므로 만약 Π가 있는 점을 극으로 삼고, MΠ가 있는 거리를 반지름으로 하여 원을 그린다면, 그것은 MA 원으로부터 반사되어 만들어지는 모든 각에 접할 것이다.
εἰ δὲ μή, ὁμοίως δειχθήσονται τὸν αὐτὸν ἔχουσαι λόγον αἱ ἄλλοθι καὶ ἄλλοθι τοῦ ἡμικυκλίου συνιστάμεναι, ὅπερ ἦν ἀδύνατον.
만약 그렇지 않다면, 반원의 이리저리에서 구성되는 직선들이 동일한 비율을 가짐이 동일하게 증명될 것인데, 이것은 불가능했다.
ἐὰν οὖν περιαγάγῃς τὸ ἡμικύκλιον τὸ ἐφ᾿ ᾧ τὸ Α περὶ τὴν ἐφ᾿ ᾗ Η Κ Π διάμετρον, αἱ ἀπὸ τοῦ ΗΚ ἀνακλώμεναι πρὸς τὸ ἐφ᾿ ᾧ τὸ Μ ἐν πᾶσι τοῖς ἐπιπέδοις ὁμοίως ἕξουσι, καὶ ἴσην ποιήσουσι γωνίαν τὴν ΚΜ καὶ ἣν ποιήσουσι δὲ γωνίαν αἱ ΗΠ καὶ ΜΠ ἐπὶ τῆς ΗΠ, ἀεὶ ἴση ἔσται.
그러므로 만약 A가 있는 반원을 HKΠ가 있는 지름을 축으로 회전시킨다면, HK로부터 M이 있는 점으로 반사되는 직선들은 모든 평면에서 동일한 상태에 있을 것이며, 같은 각을 이룰 것이다. 그리고 KM과 이루는 각, 그리고 HΠ 위에서 HΠ와 MΠ가 이루는 각은 항상 같을 것이다.
τρίγωνα οὖν ἐπὶ τῆς ΗΠ καὶ ΚΠ ἴσα τῷ ΗΜΠ ΚΜΠ συνεστήκασι.
따라서 HΠ와 KΠ 위에 HMΠ 및 KMΠ와 같은 삼각형들이 구성된다.
τούτων δὲ αἱ κάθετοι ἐπὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον πεσοῦνται τῆς ΗΠ καὶ ἴσαι ἔσονται.
이 삼각형들의 수선들은 HΠ의 동일한 점에 떨어질 것이며 서로 같을 것이다.
πιπτέτωσαν ἐπὶ τὸ Ο. κέντρον ἄρα τοῦ κύκλου τὸ Ο, ἡμικύκλιον δὲ τὸ περὶ τὴν ΜΝ ἀφῄρηται ἀπὸ τοῦ ὁρίζοντος·
이들이 O에 떨어진다고 하자. 따라서 그 원의 중심은 O이며, MN 주위의 반원은 지평선에 의해 잘려 나간다.
τῶν μὲν γὰρ ἄνω τὸν ἥλιον οὐ κρατεῖν, τῶν δὲ προσπτεριζομένων κρατεῖν, καὶ διαχεῖν τὸν ἀέρα·
왜냐하면 태양은 위쪽의 것들을 지배하지 못하지만, 물방울이 흩뿌려지는 것들은 지배하여 공기를 흩뜨린다고 하기 때문이다.
καὶ διὰ τοῦτο τὴν ἶριν οὐ συμβάλλειν τὸν κύκλον·
그리고 이 때문에 무지개는 원을 완성하지 못한다.
γίγνεσθαι δὲ καὶ νύκτωρ ἀπὸ τῆς σελήνης ὀλιγάκις·
또한 밤에 달에 의해 무지개가 생기는 일은 드물다.
οὔτε γὰρ ἀεὶ πλήρης, ἀσθενεστέρα τε τὴν φύσιν ὥστε κρατεῖν τοῦ ἀέρος·
왜냐하면 달은 항상 보름달인 것도 아니고, 본성상 공기를 지배하기에는 너무 약하기 때문이다.
μάλιστα δ᾿ ἵστασθαι τὴν ἶριν, ὅπου μάλιστα κρατεῖται ὁ ἥλιος·
그리고 무지개는 태양이 가장 지배되는 곳에 가장 잘 나타난다.
πλείστη γὰρ ἐν αὐτῇ ἰκμὰς ἐνέμεινεν.
왜냐하면 그곳에 가장 많은 습기가 남아 있기 때문이다.
πάλιν ἔστω ὁρίζων μὲν ἐφ᾿ οὗ τὸ ΑΚΓ, ἐπανατεταλκέτω δὲ τὸ Η, ὁ δ᾿ ἄξων ἔστω νῦν ἐφ᾿ οὗ τὸ ΗΠ. τὰ μὲν οὖν ἄλλα πάντα ὁμοίως δειχθήσεται ὡς καὶ πρότερον, ὁ δὲ πόλος τοῦ κύκλου ὁ ἐφ᾿ Π κάτω ἔσται τοῦ ὁρίζοντος τοῦ ἐφ᾿ τὸ ΑΓ, ἀρθέντος τοῦ ἐφ᾿ ᾧ τὸ Η σημείου.
다시 지평선을 AKΓ가 있는 원으로 삼고, H가 떠올라 있으며, 축은 이제 HΠ가 있는 직선이라 하자. 따라서 다른 모든 것은 이전과 마찬가지로 증명될 것이나, H가 있는 점이 상승함에 따라 Π에 있는 원의 극은 AΓ가 있는 지평선 아래에 있게 될 것이다.
ἐπὶ δὲ τῆς αὐτῆς ὅ τε πόλος καὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου καὶ τὸ τοῦ ὁρίζοντος νῦν τὴν ἀνατολήν·
그리고 동일한 직선 위에 극 과 원의 중심과 지평선의 중심이 있게 되며, 이제 그것은 동쪽을 향하고 있다.
ἔστι γὰρ οὗτος ἐφ᾿ ᾧ τὸ HΠ. ἐπεὶ δὲ τῆς διαμέτρου τῆς ΑΓ τὸ ΚΗ ἐπάνω, τὸ κέντρον εἴη ἂν ὑποκάτω τοῦ ὁρίζοντος πρότερον τοῦ ἐφ᾿ ᾧ τὸ ΑΓ, ἐπὶ τῆς ΚΠ γραμμῆς, ἐφ᾿ οὗ τὸ Β. ὥστ᾿ ἔλαττον ἔσται τὸ ἐπάνω τμῆμα ἡμικυκλίου τὸ ἐφ᾿ ᾧ Ψ Υ·
왜냐하면 이 직선이 HΠ가 있는 것이기 때문이다. 그런데 지름 AΓ 위에 KH가 있으므로, 원의 중심은 이전의 AΓ가 있는 지평선 아래, KΠ 직선 위의 B가 있는 점에 있게 될 것이다. 따라서 지상의 부분인 ΨY가 있는 부분은 반원보다 작아질 것이다.
τὸ γὰρ ΨΥΟ ἡμικύκλιον ἦν, νῦν δὲ ἀποτέτμηται ἀπὸ τοῦ ΑΓ ὁρίζοντος.
왜냐하면 ΨYO는 반원이었으나, 이제 지평선 AΓ에 의해 잘려 나갔기 때문이다.
τὸ δὴ ΟΥ ἀφανὲς ἔσται αὐτοῦ, ἐπαρθέντος τοῦ ἡλίου·
그리하여 태양이 상승함에 따라 그중 OY 부분은 보이지 않게 될 것이다.
ἐλάχιστον δ᾿, ὅταν ἐπὶ μεσημβρίας·
그리고 천체가 자오선 위에 있을 때 최소가 된다.
ὅσον γὰρ ἀνώτερον τὸ Η, κατώτερον ὅ τε πόλος καὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἔσται.
왜냐하면 H가 높으면 높을수록 극과 원의 중심은 낮아질 것이기 때문이다.
ὅτι δ᾿ ἐν μὲν ταῖς ἐλάττοσιν ἡμέραις ταῖς μετ᾿ ἰσημερίαν τὴν μετοπωρινὴν ἐνδέχεται ἀεὶ γίγνεσθαι ἶριν, ἐν δὲ ταῖς μακροτέραις ἡμέραις ταῖς ἀπὸ ἰσημερίας τῆς ἑτέρας ἐπὶ τὴν ἰσημερίαν τὴν ἑτέραν περὶ μεσημβρίαν οὐ γίγνεται ἶρις, αἴτιον ὅτι τὰ μὲν πρὸς ἄρκτον τμήματα πάντα μείζω ἡμικυκλίου καὶ ἀεὶ ἐπὶ μείζω ἡμικυκλίου, τὸ δ᾿ ἀφανὲς μικρόν, τὰ δὲ πρὸς μεσημβρίαν τμήματα τοῦ ἰσημερινοῦ, τὸ μὲν ἄνω τμῆμα μικρόν, τὸ δ᾿ ὑπὸ γῆν μέγα, καὶ ἀεὶ δὴ μείζω τὰ πορρώτερα·
추분 뒤의 낮이 짧은 시기에는 항상 무지개가 생길 수 있는 반면, 다른 분점(춘분)에서 추분에 이르는 낮이 긴 시기에는 자오선 부근 (정오 무렵)에 무지개가 생기지 않는 까닭은 다음과 같다. 북쪽으로 치우친 모든 호는 반원보다 크며 항상 반원보다 큰 호 위를 운행하고 보이지 않는 부분은 작은 반면, 천구 적도의 남쪽으로 치우친 호들은 지상 부분은 작고 지하 부분은 크며, 멀어질수록 항상 더 커지기 때문이다.
ὥστ᾿ ἐν μὲν ταῖς πρὸς θερινὰς τροπὰς ἡμέραις διὰ τὸ μέγεθος τοῦ τμήματος, πρὶν ἐπὶ τὸ μέσον ἐλθεῖν τοῦ τμήματος καὶ ἐπὶ τὸν μεσημβρινὸν τὴν τὸ Η, κάτω ἤδη τελέως γίγνεται ἡ τὸ Π, διὰ τὸ πόρρω ἀφεστάναι τῆς γῆς τὴν μεσημβρίαν διὰ τὸ μέγεθος τοῦ τμήματος.
그리하여 하지에 가까운 시기에는 호의 크기 때문에 H가 호의 중간 및 자오선에 도달하기 전에 Π는 이미 완전히 지하로 내려가는데, 이는 호의 크기로 인해 자오선의 위치가 땅으로부터 멀리 떨어져 있기 때문이다.
ἐν δὲ ταῖς πρὸς τὰς χειμερινὰς τροπὰς ἡμέραις, διὰ τὸ μὴ πολὺ ὑπὲρ γῆς εἶναι τὰ τμήματα τῶν κύκλων, τοὐναντίον ἀναγκαῖον γίγνεσθαι·
반면 동지에 가까운 시기에는 원의 호들이 땅 위로 그리 높지 않기 때문에 반대의 일이 일어나는 것이 필연적이다.
βραχὺ γὰρ ἀρθείσης τῆς ἐφ᾿ ᾧ τὸ Η, ἐπὶ τῆς μεσημβρίας γίγνεται ὁ ἥλιος.
왜냐하면 H가 있는 점이 아주 조금만 상승해도 태양은 자오선에 도달하기 때문이다.