§3.5#2ἐπεὶ οὖν ἡ Δ οὔτε πρὸς ἔλαττον τοῦ ΜΠ οὔτε πρὸς μείζω (ὁμοίως γὰρ δειχθήσεται), δῆλον ὅτι πρὸς αὐτὴν ἂν εἴη τὴν ἐφ᾿ ᾗ Μ Π. ὥστ᾿ ἔσται ὅπερ ἡ ΜΠ πρὸς ΠΚ, ἡ ΠΗ πρὸς τὴν ΜΠ.
因此，既然 Δ 既不等于比 MΠ 更小的比例，也不等于更大的比例（因为可以用同样的方式证明），显而易见，它等于对 MΠ 本身的比例。 所以，正如 MΠ 对 ΠK 的比例，ΠH 对 MΠ 也是如此。
ἐὰν οὖν τῷ ἐφ᾿ ᾧ τὸ πόλῳ χρώμενος, διαστήματι δὲ τῷ ἐφ᾿ ᾧ Μ Π, κύκλος γραφῇ, ἁπασῶν ἐφάψεται τῶν γωνιῶν ἃς ἀνακλώμεναι ποιοῦσιν αἱ ἀπὸ τοῦ ΜΑ κύκλου· εἰ δὲ μή, ὁμοίως δειχθήσονται τὸν αὐτὸν ἔχουσαι λόγον αἱ ἄλλοθι καὶ ἄλλοθι τοῦ ἡμικυκλίου συνιστάμεναι, ὅπερ ἦν ἀδύνατον.
如果以 Π 所在的点为极，以 MΠ 所在的长度为半径画一个圆，那么它将切于从 MA 圆反射所形成的所有角；若不然，它们将被证明以同样的方式在半圆的各处构建并具有相同的比例，而这是不可能的。
ἐὰν οὖν περιαγάγῃς τὸ ἡμικύκλιον τὸ ἐφ᾿ ᾧ τὸ Α περὶ τὴν ἐφ᾿ ᾗ Η Κ Π διάμετρον, αἱ ἀπὸ τοῦ ΗΚ ἀνακλώμεναι πρὸς τὸ ἐφ᾿ ᾧ τὸ Μ ἐν πᾶσι τοῖς ἐπιπέδοις ὁμοίως ἕξουσι, καὶ ἴσην ποιήσουσι γωνίαν τὴν ΚΜ καὶ ἣν ποιήσουσι δὲ γωνίαν αἱ ΗΠ καὶ ΜΠ ἐπὶ τῆς ΗΠ, ἀεὶ ἴση ἔσται.
因此，如果让 A 所在的半圆绕着 HKΠ 所在的直径旋转，那么从 HK 反射到 M 点的直线在所有平面上都将处于相同的状态，并且会形成等角；它们与 KM 形成的角，以及 HΠ 和 MΠ 在 HΠ 上形成的角将总是相等。
τρίγωνα οὖν ἐπὶ τῆς ΗΠ καὶ ΚΠ ἴσα τῷ ΗΜΠ ΚΜΠ συνεστήκασι.
因此，在 HΠ 和 KΠ 上构建了与 HMΠ 和 KMΠ 相等的三角形。
τούτων δὲ αἱ κάθετοι ἐπὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον πεσοῦνται τῆς ΗΠ καὶ ἴσαι ἔσονται.
而这些三角形的垂线将落在 HΠ 的同一点上，并且相等。
πιπτέτωσαν ἐπὶ τὸ Ο. κέντρον ἄρα τοῦ κύκλου τὸ Ο, ἡμικύκλιον δὲ τὸ περὶ τὴν ΜΝ ἀφῄρηται ἀπὸ τοῦ ὁρίζοντος· τῶν μὲν γὰρ ἄνω τὸν ἥλιον οὐ κρατεῖν, τῶν δὲ προσπτεριζομένων κρατεῖν, καὶ διαχεῖν τὸν ἀέρα· καὶ διὰ τοῦτο τὴν ἶριν οὐ συμβάλλειν τὸν κύκλον· γίγνεσθαι δὲ καὶ νύκτωρ ἀπὸ τῆς σελήνης ὀλιγάκις· οὔτε γὰρ ἀεὶ πλήρης, ἀσθενεστέρα τε τὴν φύσιν ὥστε κρατεῖν τοῦ ἀέρος· μάλιστα δ᾿ ἵστασθαι τὴν ἶριν, ὅπου μάλιστα κρατεῖται ὁ ἥλιος· πλείστη γὰρ ἐν αὐτῇ ἰκμὰς ἐνέμεινεν.
设它们落在 O 点。 因此该圆的中心是 O，而围绕 MN 的半圆被地平线截去；因为据说太阳不能支配上方的部分，但能支配受到湿气影响的部分并驱散空气；因此虹不能闭合成一个完整的圆；并且夜间由月光产生的虹很少发生；因为月亮并非总是圆的，且其本性太弱，无法支配空气；而虹最常出现在太阳受到最大限制的地方；因为那里保留了最多的湿气。
πάλιν ἔστω ὁρίζων μὲν ἐφ᾿ οὗ τὸ ΑΚΓ, ἐπανατεταλκέτω δὲ τὸ Η, ὁ δ᾿ ἄξων ἔστω νῦν ἐφ᾿ οὗ τὸ ΗΠ. τὰ μὲν οὖν ἄλλα πάντα ὁμοίως δειχθήσεται ὡς καὶ πρότερον, ὁ δὲ πόλος τοῦ κύκλου ὁ ἐφ᾿ Π κάτω ἔσται τοῦ ὁρίζοντος τοῦ ἐφ᾿ τὸ ΑΓ, ἀρθέντος τοῦ ἐφ᾿ ᾧ τὸ Η σημείου.
再次，设地平线为 AKΓ 所在的圆，并设 H 已升起，而轴现在为 HΠ 所在的直线。 因此，所有其他情况都将与之前一样得到证明，但随着 H 所在的点升起，该圆位于 Π 的极将处于 AΓ 所在的地平线之下。
ἐπὶ δὲ τῆς αὐτῆς ὅ τε πόλος καὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου καὶ τὸ τοῦ ὁρίζοντος νῦν τὴν ἀνατολήν· ἔστι γὰρ οὗτος ἐφ᾿ ᾧ τὸ HΠ. ἐπεὶ δὲ τῆς διαμέτρου τῆς ΑΓ τὸ ΚΗ ἐπάνω, τὸ κέντρον εἴη ἂν ὑποκάτω τοῦ ὁρίζοντος πρότερον τοῦ ἐφ᾿ ᾧ τὸ ΑΓ, ἐπὶ τῆς ΚΠ γραμμῆς, ἐφ᾿ οὗ τὸ Β. ὥστ᾿ ἔλαττον ἔσται τὸ ἐπάνω τμῆμα ἡμικυκλίου τὸ ἐφ᾿ ᾧ Ψ Υ· τὸ γὰρ ΨΥΟ ἡμικύκλιον ἦν, νῦν δὲ ἀποτέτμηται ἀπὸ τοῦ ΑΓ ὁρίζοντος.
而在同一条直线上，极、圆的中心以及地平线的中心现在都朝向升起处；因为这就是 HΠ 所在的直线。 但既然 KH 位于直径 AΓ 之上，该圆的中心将位于原先 AΓ 地平线之下、KΠ 直线上的 B 点。 所以，上方的弧，即 ΨY 所在的弧，将小于半圆；因为 ΨYO 原本是一个半圆，但现在已被地平线 AΓ 截去。
τὸ δὴ ΟΥ ἀφανὲς ἔσται αὐτοῦ, ἐπαρθέντος τοῦ ἡλίου· ἐλάχιστον δ᾿, ὅταν ἐπὶ μεσημβρίας· ὅσον γὰρ ἀνώτερον τὸ Η, κατώτερον ὅ τε πόλος καὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἔσται.
因此，随着太阳升起，其中的 OY 将变得不可见；且当天体位于子午线上时其可见部分最小；因为 H 越高，该圆的极和中心就越低。
ὅτι δ᾿ ἐν μὲν ταῖς ἐλάττοσιν ἡμέραις ταῖς μετ᾿ ἰσημερίαν τὴν μετοπωρινὴν ἐνδέχεται ἀεὶ γίγνεσθαι ἶριν, ἐν δὲ ταῖς μακροτέραις ἡμέραις ταῖς ἀπὸ ἰσημερίας τῆς ἑτέρας ἐπὶ τὴν ἰσημερίαν τὴν ἑτέραν περὶ μεσημβρίαν οὐ γίγνεται ἶρις, αἴτιον ὅτι τὰ μὲν πρὸς ἄρκτον τμήματα πάντα μείζω ἡμικυκλίου καὶ ἀεὶ ἐπὶ μείζω ἡμικυκλίου, τὸ δ᾿ ἀφανὲς μικρόν, τὰ δὲ πρὸς μεσημβρίαν τμήματα τοῦ ἰσημερινοῦ, τὸ μὲν ἄνω τμῆμα μικρόν, τὸ δ᾿ ὑπὸ γῆν μέγα, καὶ ἀεὶ δὴ μείζω τὰ πορρώτερα· ὥστ᾿ ἐν μὲν ταῖς πρὸς θερινὰς τροπὰς ἡμέραις διὰ τὸ μέγεθος τοῦ τμήματος, πρὶν ἐπὶ τὸ μέσον ἐλθεῖν τοῦ τμήματος καὶ ἐπὶ τὸν μεσημβρινὸν τὴν τὸ Η, κάτω ἤδη τελέως γίγνεται ἡ τὸ Π, διὰ τὸ πόρρω ἀφεστάναι τῆς γῆς τὴν μεσημβρίαν διὰ τὸ μέγεθος τοῦ τμήματος.
而在秋分后较短的日子里，虹总是可能产生的；但在从一个分点到另一个分点的较长日子里，在子午线附近（正午时分）则不会产生虹，其原因为：所有偏北的弧段都大于半圆，且始终在大于半圆的弧上运行，不可见的部分很小；而赤道偏南的弧段，地上部分很小，地下的部分很大，并且越远就总是越大；因此，在接近夏至的日子里，由于弧段的巨大，在 H 达到弧段的中点及子午线之前，Π 就已经完全处于地下，这是因为由于弧段的巨大，子午线的位置离地球非常遥远。
ἐν δὲ ταῖς πρὸς τὰς χειμερινὰς τροπὰς ἡμέραις, διὰ τὸ μὴ πολὺ ὑπὲρ γῆς εἶναι τὰ τμήματα τῶν κύκλων, τοὐναντίον ἀναγκαῖον γίγνεσθαι· βραχὺ γὰρ ἀρθείσης τῆς ἐφ᾿ ᾧ τὸ Η, ἐπὶ τῆς μεσημβρίας γίγνεται ὁ ἥλιος.
而在接近冬至的日子里，由于这些圆弧离地并不太高，必然发生相反的情况；因为 H 点只需稍微升起，太阳就已经处于子午线上了。