§3.5#15 ὅτι δ᾿ οὔτε κύκλον σἷόν τε γενέσθαι τῆς ἴριδος οὔτε μεῖζον ἡμικυκλίου τμῆμα, καὶ περὶ τῶν ἄλλων τῶν συμβαινόντων περὶ αὐτήν, ἐκ τοῦ διαγράμματος ἔσται θεωροῦσι δῆλον.
5 至于虹不可能形成一个完整的圆，也不可能形成大于半圆的弓形，以及关于围绕它发生的其他现象，对于研究几何图示的人来说将是显而易见的。
ἡμισφαιρίου γὰρ ὄντος ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος κύκλου τοῦ ἐφ᾿ ᾧ τὸ Α, κέντρου δὲ τοῦ Κ, ἄλλου δέ τινος ἀνατέλλοντος σημείου ἐφ᾿ ᾧ τὸ Η, ἐὰν ἀπὸ τοῦ Κ γραμμαὶ κατὰ κῶνον ἐκπίπτουσαι ποιῶσιν ὡσπερεὶ ἄξονα τὴν ἐφ᾿ ᾗ ΗΚ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ ἐπιζευχθεῖσαι ἀνακλασθῶσιν ἀπὸ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπὶ τὸ Η ἐπὶ τὴν μείζω γωνίαν, πρὸς κύκλου περιφέρειαν προσπεσοῦνται αἱ ἀπὸ τοῦ Κ·
因为，在 A 处的地平线圆上有一个半球，其中心为 K，另一个升起的点在 H 处，如果从 K 呈圆锥状射出的直线群以 HK 处的直线为轴，并从 K 连接到 [M]，从半球以较大的角反射到 H，那么从 K 射出的直线群将落在圆周上。
καὶ ἐὰν μὲν ἐπ᾿ ἀνατολῆς ἢ ἐπὶ δύσεως τοῦ ἄστρου ἡ ἀνάκλασις γένηται, ἡμικύκλιον ἀποληφθήσεται τοῦ κύκλου ὑπὸ τοῦ ὁρίζοντος τὸ ὑπὲρ γῆν γιγνόμενον, ἐὰν δ᾿ ἐπάνω, ἀεὶ ἔλαττον ἡμικυκλίου· ἐλάχιστον δέ, ὅταν ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ γένηται τὸ ἄστρον.
如果反射发生在天体升起或落下时，那么地平线上方的圆弧将被地平线截为一个半圆；但如果天体在上方，则总是小于半圆；而当天体位于子午线上时，这一弧度最小。
ἔστω γὰρ ἐπ᾿ ἀνατολῆς πρῶτον, οὗ τὸ Η, καὶ ἀνακεκλάσθω ἡ ΚM ἐπὶ τὸ Η, καὶ τὸ ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω ἐν ᾧ ἡ Α, τὸ ἀπὸ τοῦ τριγώνου ἐν ᾧ τὸ ΗΚΜ. κύκλος οὖν ἡ τομὴ ἔσται τῆς σφαίρας ὁ μέγιστος.
首先让天体在升起处，即 H 处，并让 KM 反射到 H，且延长由三角形 HKM 组成的平面（即 A 所在的平面）。 因此，与球体的交线将是一个大圆。
ἔστω ὁ ἐφ᾿ ᾧ Α· διοίσει γὰρ οὐδὲν ἂν ὁποιονοῦν τῶν ἐπὶ τῆς ΗΚ κατὰ τὸ τρίγωνον τὸ ΚΜΗ ἐκβληθῇ τὸ ἐπίπεδον.
让它作为 A 处的圆；因为如果平面沿着三角形 KMH 通过 HK 上的任何点被延长，都毫无区别。
αἱ οὖν ἀπὸ τῶν ἀναγόμεναι γραμμαὶ ἐν τούτῳ τῷ λόγῳ οὐ συσταθήσονται τοῦ ἐφ᾿ ᾧ Α ἡμικυκλίου πρὸς ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον· ἐπεὶ γὰρ τὰ τε Κ Η σημεῖα δέδοται καὶ ἡ HΚ, δεδομένη ἂν εἴη καὶ ἡ ΜΗ, ὥστε καὶ λόγος τῆς ΜΗ πρὸς ΜΚ. δεδομένης οὖν περιφερείας ἐφάψεται τὸ Μ. ἔστω δὴ αὕτη ἐφ᾿ ἧς τὰ ΝΜ· ὥστε ἡ τομὴ τῶν περιφερειῶν δέδοται.
因此，从 [H, K] 引出的直线群在这一比例下，不会在 A 处的半圆上构建到不同的点；因为既然点 K、H 以及 HK 已知， MH 也将是已知的，因此 MH 对 MK 的比例也是已知。 那么 M 将接触一条已知的圆周。 让这条圆周为 NM 所在的圆周；因此圆周的交点已知。
πρὸς ἄλλη δέ γε ἢ τῇ ΜΝ περιφερείᾳ ἀπὸ τῶν αὐτῶν σημείων ὁ αὐτὸς λόγος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὐ συνίσταται.
但是在同一平面内，从相同的点出发，对除了 MN 圆周以外的其他圆周，不可能构建出相同的比例。
ἐκκείσθω οὖν τις γραμμὴ ἡ ΔΒ, καὶ τετμήσθω ὡς ἡ ΜΗ πρὸς ΜΚ ἡ Δ πρὸς B. μείζων δὲ ἡ ΜΗ τῆς ΚΜ, ἐπείπερ ἐπὶ τὴν μείζω γωνίαν ἡ ἀνάκλασις τοῦ κώνου· ὑπὸ γὰρ τὴν μείζω γωνίαν ὑποτείνει τοῦ τριγώνου.
那么，设一条直线 ΔB，并将其分割，使 Δ 对 B 的比例等于 MH 对 MK 的比例。 而 MH 大于 KM，因为圆锥的反射是在较大的角上进行的；因为它在三角形中对向较大的角。
προσπεπορίσθω οὖν πρὸς τὴν B, ἐφ᾿ ἧς τὸ Ζ·
因此，在 B 上增加一条直线 Z；使之满足 Δ 对 B 的比例等于 BZ 对 Δ 的比例。
ὥστ᾿ εἶναι ὅπερ τὴν Δ πρὸς τὴν B, τὴν ΒΖ πρὸς τὴν Δ. εἶτα ὅπερ ἡ Ζ πρὸς τὴν ΚΗ, ἡ τὸ B πρὸς ἄλλην πεποιήσθω τὴν ΚΠ, καὶ ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὸ Μ ἐπεζεύχθω ἡ τὸ ΜΠ. ἔσται οὖν τὸ Π πόλος τοῦ κύκλου, πρὸς ὃν αἱ ἀπὸ τοῦ Κ γραμμαὶ προσπίπτουσιν· ἔσται γὰρ ὅπερ ἡ Ζ πρὸς ΚΗ, καὶ ἡ Β πρὸς ΚΠ, καὶ ἡ Δ πρὸς ΠΜ. μὴ γὰρ ἔστω, ἀλλ᾿ ἢ πρὸς ἐλάττω ἢ πρὸς μείζω τῆς ΠΜ· οὐδὲν γὰρ διοίσει.
然后使 B 对另一条直线 KΠ 的比例等于 Z 对 KH 的比例，并从 Π 到 M 连接 MΠ。 那么 Π 将是 K 发出的直线所到达的圆的极；因为 Z 对 KH 的比例，等于 B 对 KΠ 的比例，也等于 Δ 对 ΠM 的比例。 如果不是这样，而等于比 ΠM 更小或更大的直线；因为这没有区别。
ἔστω πρὸς ΠΡ. τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον αἱ καὶ ΚΠ καὶ ἡ ΠΡ πρὸς ἀλλήλας ἕξουσιν ὃνπερ αἱ ΔΒ Ζ. αἱ δὲ Δ Β Ζ ἀνὰ λόγον ἦσαν, ὅνπερ ἡ Δ πρὸς Β, ἡ ΖΒ πρὸς Δ· ὥστε ὅπερ ἡ ΠΗ πρὸς τὴν ΠΡ, ἡ τὸ ΠΡ πρὸς τὴν ΠΚ. ἂν οὖν ἀπὸ τῶν Κ αἱ ΗΡ καὶ ΚΡ ἐπὶ τὸ Ρ ἐπιζευχθῶσιν, αἱ ἐπιζευχθεῖσαι αὗται τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον ὅνπερ ἡ ΗΠ πρὸς τὴν ΠΡ·
设它等于 ΠP。 因此，直线 KΠ 和 ΠP 彼此之间的比例将与 Δ、B、Z 彼此之间的比例相同。 而 Δ、B、Z 是成比例的，即 Δ 对 B 的比例等于 ZB 对 Δ 的比例；因此，ΠH 对 ΠR 的比例等于 ΠR 对 ΠK 的比例。
περὶ γὰρ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν ἀνάλογον αἵ τε τοῦ ΗΠΡ τριγώνου καὶ τοῦ ΚΡΠ. ὥστε καὶ ἡ ΠΡ πρὸς τὴν ΚΡ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, καὶ ἡ τὸ ΗΠ πρὸς τὴν ΠΡ. ἔχει δὲ καὶ ἡ ΜΗ πρὸς ΚΜ τοῦτον τὸν λόγον·
因此，如果从 [H, ] K 引出 HP 和 KP 连接到 P，这些连接的直线将具有与 HΠ 对 ΠP 相同的比例；因为三角形 HPΠ 和 KRP 的对应边围绕相同的角成比例。 因此，ΠP 对 KP 也将具有相同的比例，且 HΠ 对 ΠP 也是。
ὅνπερ γὰρ ἡ τὸ Δ πρὸς τὴν Β ἀμφότεραι.
而 MH 对 KM 也有这一比例；因为两者都等于 Δ 对 B 的比例。
ὥστε ἀπὸ τῶν ΗΚ σημείων οὐ μόνον πρὸς τὴν Ν περιφέρειαν συσταθήσονται τὸν αὐτὸν ἔχουσαι λόγον, ἀλλὰ καὶ ἄλλοθι· ὅπερ ἀδύνατον.
因此，从点 H、K 出发，不仅对 NM 圆周会构建出具有相同比例的直线，在其他地方也会如此；而这是不可能的。