§3.5#15 ὅτι δ᾿ οὔτε κύκλον σἷόν τε γενέσθαι τῆς ἴριδος οὔτε μεῖζον ἡμικυκλίου τμῆμα, καὶ περὶ τῶν ἄλλων τῶν συμβαινόντων περὶ αὐτήν, ἐκ τοῦ διαγράμματος ἔσται θεωροῦσι δῆλον.
5 무지개가 원이 되는 것도, 반원보다 더 큰 활꼴이 되는 것도 불가능하다는 점과, 무지개에 관해 일어나는 다른 현상들에 대해서는 기하학적 도형을 고찰하는 이들에게 명백해질 것이다.
ἡμισφαιρίου γὰρ ὄντος ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος κύκλου τοῦ ἐφ᾿ ᾧ τὸ Α, κέντρου δὲ τοῦ Κ, ἄλλου δέ τινος ἀνατέλλοντος σημείου ἐφ᾿ ᾧ τὸ Η, ἐὰν ἀπὸ τοῦ Κ γραμμαὶ κατὰ κῶνον ἐκπίπτουσαι ποιῶσιν ὡσπερεὶ ἄξονα τὴν ἐφ᾿ ᾗ ΗΚ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ ἐπιζευχθεῖσαι ἀνακλασθῶσιν ἀπὸ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπὶ τὸ Η ἐπὶ τὴν μείζω γωνίαν, πρὸς κύκλου περιφέρειαν προσπεσοῦνται αἱ ἀπὸ τοῦ Κ·
즉, A가 있는 지평선 원 위에 반구가 있고, 그 중심이 K이며, 다른 어떤 떠오르는 점이 H가 있는 곳에 있을 때, 만약 K로부터 원뿔 모양으로 뻗어 나가는 직선들이 HK가 있는 직선을 말하자면 축으로 삼고, K로부터 [M]으로 연결되어 반구로부터 H로 더 큰 각을 이루며 반사된다면, K로부터의 직선들은 원의 둘레에 도달할 것이다.
καὶ ἐὰν μὲν ἐπ᾿ ἀνατολῆς ἢ ἐπὶ δύσεως τοῦ ἄστρου ἡ ἀνάκλασις γένηται, ἡμικύκλιον ἀποληφθήσεται τοῦ κύκλου ὑπὸ τοῦ ὁρίζοντος τὸ ὑπὲρ γῆν γιγνόμενον, ἐὰν δ᾿ ἐπάνω, ἀεὶ ἔλαττον ἡμικυκλίου·
그리고 만약 천체가 뜨거나 질 때 반사가 일어난다면, 지평선에 의해 지상에 생기는 원의 부분이 반원으로 잘려 나갈 것이다.
ἐλάχιστον δέ, ὅταν ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ γένηται τὸ ἄστρον.
그러나 천체가 지평선 위에 있다면 항상 반원보다 작아지며, 천체가 자오선에 이를 때 가장 작아진다.
ἔστω γὰρ ἐπ᾿ ἀνατολῆς πρῶτον, οὗ τὸ Η, καὶ ἀνακεκλάσθω ἡ ΚM ἐπὶ τὸ Η, καὶ τὸ ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω ἐν ᾧ ἡ Α, τὸ ἀπὸ τοῦ τριγώνου ἐν ᾧ τὸ ΗΚΜ. κύκλος οὖν ἡ τομὴ ἔσται τῆς σφαίρας ὁ μέγιστος.
먼저 천체가 뜨는 곳, 곧 H가 있는 곳에 있다고 하고, KM이 H로 반사되며, 삼각형 HKM이 있는 면으로부터 생긴 평면(A가 있는 평면)이 연장된다고 하자. 따라서 구와의 교선은 대원이 될 것이다.
ἔστω ὁ ἐφ᾿ ᾧ Α·
그것을 A가 있는 원이라 하자.
διοίσει γὰρ οὐδὲν ἂν ὁποιονοῦν τῶν ἐπὶ τῆς ΗΚ κατὰ τὸ τρίγωνον τὸ ΚΜΗ ἐκβληθῇ τὸ ἐπίπεδον.
왜냐하면 HK 위의 임의의 점을 지나고 삼각형 KMH를 따르는 평면이 어떻게 연장되더라도 아무런 차이가 없기 때문이다.
αἱ οὖν ἀπὸ τῶν ἀναγόμεναι γραμμαὶ ἐν τούτῳ τῷ λόγῳ οὐ συσταθήσονται τοῦ ἐφ᾿ ᾧ Α ἡμικυκλίου πρὸς ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον·
그러므로 [H, K]로부터 나오는 직선들은 이 비율 안에서, A가 있는 반원의 서로 다른 점들로 구성되지 않을 것이다.
ἐπεὶ γὰρ τὰ τε Κ Η σημεῖα δέδοται καὶ ἡ HΚ, δεδομένη ἂν εἴη καὶ ἡ ΜΗ, ὥστε καὶ λόγος τῆς ΜΗ πρὸς ΜΚ. δεδομένης οὖν περιφερείας ἐφάψεται τὸ Μ. ἔστω δὴ αὕτη ἐφ᾿ ἧς τὰ ΝΜ·
왜냐하면 K와 H 점 및 HK가 주어져 있으므로, MH 또한 주어질 것이고, 따라서 MH의 MK에 대한 비율 역시 주어질 것이기 때문이다. 그러므로 M은 주어진 원주에 접할 것이다. 이를 NM이 있는 원주라 하자.
ὥστε ἡ τομὴ τῶν περιφερειῶν δέδοται.
그리하여 원주들의 교점은 주어진다.
πρὸς ἄλλη δέ γε ἢ τῇ ΜΝ περιφερείᾳ ἀπὸ τῶν αὐτῶν σημείων ὁ αὐτὸς λόγος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὐ συνίσταται.
그러나 동일한 평면에서 동일한 점들로부터 MN 원주 이외의 다른 원주에 대해서는 동일한 비율이 구성되지 않는다.
ἐκκείσθω οὖν τις γραμμὴ ἡ ΔΒ, καὶ τετμήσθω ὡς ἡ ΜΗ πρὸς ΜΚ ἡ Δ πρὸς B. μείζων δὲ ἡ ΜΗ τῆς ΚΜ, ἐπείπερ ἐπὶ τὴν μείζω γωνίαν ἡ ἀνάκλασις τοῦ κώνου·
그러므로 어떤 직선 ΔB를 설정하고, MH의 MK에 대한 비율이 Δ의 B에 대한 비율이 되도록 분할하자. 그런데 MH는 KM보다 크다.
ὑπὸ γὰρ τὴν μείζω γωνίαν ὑποτείνει τοῦ τριγώνου.
왜냐하면 원뿔의 반사는 더 큰 각에 대해 일어나기 때문이며, 그것은 삼각형의 더 큰 각을 대변하기 때문이다.
προσπεπορίσθω οὖν πρὸς τὴν B, ἐφ᾿ ἧς τὸ Ζ·
그러므로 B에 Z가 있는 직선을 덧붙여서, Δ의 B에 대한 비율이 BZ의 Δ에 대한 비율과 같아지도록 하자.
ὥστ᾿ εἶναι ὅπερ τὴν Δ πρὸς τὴν B, τὴν ΒΖ πρὸς τὴν Δ. εἶτα ὅπερ ἡ Ζ πρὸς τὴν ΚΗ, ἡ τὸ B πρὸς ἄλλην πεποιήσθω τὴν ΚΠ, καὶ ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὸ Μ ἐπεζεύχθω ἡ τὸ ΜΠ. ἔσται οὖν τὸ Π πόλος τοῦ κύκλου, πρὸς ὃν αἱ ἀπὸ τοῦ Κ γραμμαὶ προσπίπτουσιν·
그다음 Z의 KH에 대한 비율이 B의 다른 직선 KΠ에 대한 비율과 같아지도록 하고, Π로부터 M으로 MΠ를 연결하자. 그러면 Π는 K로부터의 직선들이 도달하는 원의 극이 될 것이다.
ἔσται γὰρ ὅπερ ἡ Ζ πρὸς ΚΗ, καὶ ἡ Β πρὸς ΚΠ, καὶ ἡ Δ πρὸς ΠΜ. μὴ γὰρ ἔστω, ἀλλ᾿ ἢ πρὸς ἐλάττω ἢ πρὸς μείζω τῆς ΠΜ·
왜냐하면 Z의 KH에 대한 비율은 B의 KΠ에 대한 비율과 같고, 또한 Δ의 ΠM에 대한 비율과도 같기 때문이다.
οὐδὲν γὰρ διοίσει. ἔστω πρὸς ΠΡ. τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον αἱ καὶ ΚΠ καὶ ἡ ΠΡ πρὸς ἀλλήλας ἕξουσιν ὃνπερ αἱ ΔΒ Ζ. αἱ δὲ Δ Β Ζ ἀνὰ λόγον ἦσαν, ὅνπερ ἡ Δ πρὸς Β, ἡ ΖΒ πρὸς Δ· ὥστε ὅπερ ἡ ΠΗ πρὸς τὴν ΠΡ, ἡ τὸ ΠΡ πρὸς τὴν ΠΚ. ἂν οὖν ἀπὸ τῶν Κ αἱ ΗΡ καὶ ΚΡ ἐπὶ τὸ Ρ ἐπιζευχθῶσιν, αἱ ἐπιζευχθεῖσαι αὗται τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον ὅνπερ ἡ ΗΠ πρὸς τὴν ΠΡ·
만약 그렇지 않고 ΠM보다 더 작거나 더 큰 직선에 대한 비율이라 하더라도(아무런 차이가 없으므로), 그것을 ΠP에 대한 비율이라 하자. 따라서 KΠ와 ΠP는 서로에 대해 Δ, B, Z가 가지는 비율과 동일한 비율을 가질 것이다. 그런데 Δ, B, Z는 비례 관계에 있었으므로, 곧 Δ의 B에 대한 비율이 ZB의 Δ에 대한 비율과 같았으므로, ΠH의 ΠR에 대한 비율은 ΠR의 ΠK에 대한 비율과 같다. 그러므로 만약 [H, ] K로부터 HP와 KP가 P로 연결된다면, 이 연결된 직선들은 HΠ의 ΠP에 대한 비율과 같은 비율을 가질 것이다.
περὶ γὰρ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν ἀνάλογον αἵ τε τοῦ ΗΠΡ τριγώνου καὶ τοῦ ΚΡΠ. ὥστε καὶ ἡ ΠΡ πρὸς τὴν ΚΡ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, καὶ ἡ τὸ ΗΠ πρὸς τὴν ΠΡ. ἔχει δὲ καὶ ἡ ΜΗ πρὸς ΚΜ τοῦτον τὸν λόγον·
왜냐하면 삼각형 HPΠ와 KRP에서 대응하는 변들이 동일한 각을 사이에 두고 비례하기 때문이다. 따라서 ΠP의 KP에 대한 비율 역시 같은 비율을 가질 것이며, HΠ의 ΠP에 대한 비율도 그러하다. 그런데 MH의 KM에 대한 비율 역시 이 비율을 가진다.
ὅνπερ γὰρ ἡ τὸ Δ πρὸς τὴν Β ἀμφότεραι.
왜냐하면 둘 다 Δ의 B에 대한 비율과 같기 때문이다.
ὥστε ἀπὸ τῶν ΗΚ σημείων οὐ μόνον πρὸς τὴν Ν περιφέρειαν συσταθήσονται τὸν αὐτὸν ἔχουσαι λόγον, ἀλλὰ καὶ ἄλλοθι· ὅπερ ἀδύνατον.
그리하여 H, K 점들로부터 NM 원주에 대해서뿐만 아니라 다른 곳에 대해서도 같은 비율을 가진 직선들이 구성될 것인데, 이것은 불가능하다.