§22Ὄτι μὲν οὖν ἔκ γε τῶν εἰρημένων λόγων οὔτ’ ἀναγκαῖον ἀτόμους εἶναι γραμμὰς οὔτε πιθανόν, φανερόν.
したがって、上述の議論から、不可分な線が存在することは必然でもなければ説得力のあることでもないことは明らかである。
Ἔτι δὲ καὶ ἐκ τῶνδε γένοιτ’ ἂν φανερώτερον.
さらに、以下のことからもそれはよりいっそう明らかになるだろう。
Πρῶτον μὲν ἐκ τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι δεικνυμένων καὶ τιθεμένων, ἃ οὐ δίκαιον ἢ πιστοτέροις λόγοις κινεῖν.
第一に、数学において証明され、前提とされている事柄からである。 それらを、より信頼できる議論によるのでなければ、覆すことは正しくない。
§23Οὔτς γὰρ ὁ τῆς γραμμῆς οὔτε ὁ τῆς εὐθείας ὅρος ἐφαρμόσει τῇ ἀτόμῳ διὰ τὸ μήτε μεταξὺ τινῶν εἶναι μήτ’ ἔχειν μέσον.
なぜなら、線の定義も直線の定義も、不可分なものには適合しないからである。 それらが何らかのものの間に存在することもなく、中間を持つこともないためである。
Ἔπειτα πᾶσαι αἱ γραμμαὶ σύμμετροι ἔσονται.
次に、すべての線は通約可能になる。
Πᾶσαι γὰρ ὑπὸ τῶν ἀτόμων μετρηθήσονται, αἵ τε μήκει σύμμετροι καὶ αἱ δυνάμει.
なぜなら、長さにおいて通約可能なものも、平方において通約可能なものも、すべて不可分なものによって計測されるからである。
§24Αἱ δὲ ἄτομοι σύμμετροι πᾶσαι μήκει·
そして、不可分な線はすべて長さにおいて通約可能である。
ἴσαι γάρ·
等しいからである。
ὥστε καὶ δυνάμει.
したがって、平方においても通約可能である。
Εἰ δὲ τοῦτο, διαιρετὸν ἔσται τὸ τετράγωνον.
もしそうなら、平方（正方形）は分割可能となる。
Ἔτι εἰ ἡ περὶ τὴν μείζω τὸ πλάτος ποιεῖ παραβαλλομένη, τὸ ἴσον τῶν ἀπὸ τῆς ἀτόμου καὶ τῆς ποδιαίας παραβαλλομένων περὶ τὴν δίπουν ἔλαττον ποιήσει τὸ πλάτος τῆς ἀμεροῦς·
さらに、より大きな線に適用された正方形がその幅を決定するとすれば、不可分な線と1フィートの線から作られる正方形に等しい領域を2フィートの線に適用したとき、それは不可分なものの幅よりも小さい幅を作るだろう。
ἔσται ἔλαττον τὸ περὶ τῆς ἀτόμου.
すなわち、不可分な線に関する幅のほうが小さくなるだろう。
§25Ἔτι εἰ ἐκ τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν συνίσταται τρίγωνον, καὶ ἐκ τῶν ἀτόμων συσταθήσεται.
さらに、もし与えられた3つの直線から三角形が構成されるなら、不可分な線からも構成されるだろう。
Ἐν ἅπαντι δὲ ἰσοπλεύρῳ ἡ κάθετος ἐπὶ μέσην πίπτει, ὥστε καὶ ἐπὶ τὴν ἄτομον.
そして、すべての正三角形において、垂線は底辺の中点に落ちる。 したがって、不可分な線の上にも中点に落ちる。
Ἔτι εἰ τὸ τετράγωνον τῶν ἁμερῶν διὰ μέσου ἐμπεσούσης καὶ καθέτου ἀχθείσης, ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τὴν κάθετον δύναται καὶ τὴν ἡμίσειαν τῆς διαμέτρου, ὥστε οὐκ ἐλαχίστη.
さらに、もし不可分なものからなる正方形において、中点を通って垂線が引かれるならば、正方形の辺（の平方）は、垂線（の平方）と、底辺の半分の（平方）とに等しくなり、したがって（その辺は）最小の線ではないことになる。
§26Οὐδὲ διπλάσιον τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου χωρίον ἔσται τοῦ ἀπὸ τῆς ἀτόμου.
また、対角線上の正方形（の面積）は、不可分な線上の正方形の2倍にはならないだろう。
Ἀφαιρεθέντος γὰρ τοῦ ἴσον ἡ λοιπὴ ἔσται ἐλάσσων τῆς ἀμεροῦς.
なぜなら、等しい部分が引かれたとき、残りの部分は不可分なものよりも小さくなるからである。
Εἰ γὰρ ἴσως τετραπλάσιον ἂν ἔγραψεν ἡ διάμετρος, ἄλλα δ’ ἄν τις καὶ ἕτερα τοιαῦτα συνάγοι·
もし、対角線が4倍の面積を作るとするなら、人は他にもこのような多くの結論を導き出すことができるだろう。
πᾶσι γὰρ ὡς εἰπεῖν ἐναντιοῦται τοῖς ἐν τοῖς μαθήμασιν.
なぜなら、それは言うなれば数学におけるすべての事柄に反するからである。
§27Πάλιν τοῦ μὲν ἀμεροῦς μία ἡ σύναψις, γραμμῆς δὲ δύο·
さらに、不可分なものの接合の仕方は一つであるのに対し、線のそれは二つである。
καὶ γὰρ ὅλη ὅλης ἅπτεται, καὶ κατὰ τὸ πέρας ἐξ ἐναντίας.
なぜなら、全体が全体に接するか、あるいは端点において反対方向から接するからである。
Ἔτι γραμμὴ προστεθεῖσα οὐ ποιεῖ μείζω τὴν ὅλην·
さらに、付け加えられた線は全体をより大きくしない。
τὰ γὰρ ἀμερῆ συντιθέμενα οὐ ποιήσει μεῖζον.
なぜなら、不可分なものが合成されても、より大きなものは作られないからである。
§28Ἔτι ἐκ δυοῖν ἀμεροῖν μηδὲν γίνεσθαι συνεχὲς διὰ τὸ πλείους διαιρέσεις ἔχειν ἅπαν τὸ συνεχές·
さらに、すべての連続的なものは複数の分割を持つため、二つの不可分なものからは何ら連続的なものは生じない。
ἅπασα δὲ γραμμὴ παρὰ τὴν ἄτομον συνεχὴς οὐκ ἄν εἴη γραμμὴ ἄτομος.
そして、不可分な線以外のすべての線は連続的であるから、不可分な線というものは存在しないだろう。
Ἔτι εἰ ἅπασα γραμμὴ παρὰ τῆς ἀτόμου καὶ ἴσα καὶ ἄνισα ὄιαιρεῖται, καὶ μὴ ἐκ τριῶν ἀτόμων καὶ ὅλως περιττῶν, ὥστ’ ἀδιαίρετος ἡ ἄτομος.
さらに、もし不可分な線を除くすべての線が、等しい部分にも不等な部分にも分割され、また3つの不可分なもの（あるいは一般に奇数個）から構成されていないとすれば、不可分な線は分割不可能でなければならない。
§29Ὁμοίως δὲ κἄν εἰ δίχα τέμνεται·
同様に、たとえそれが二等分されるとしても不都合が生じる。
πᾶσα γὰρ ἡ ἐκ τῶν περιττῶν.
なぜなら、奇数個からなるすべての線がそうだからである。
Εἰ δὲ δίχα μὲν μὴ πᾶσα τέμνεται ἀλλ’ ἡ ἐκ τῶν ἀρτίων, τὴν δὲ δίχα διαιρουμένην καὶ ὅσα δυνατὸν τέμνειν, διαιρεθήσεται καὶ οὕτως ἄτομος, ὅταν ἡ ἐκ τῶν ἀρτίων εἰς ἄνισα διαιρῆται.
しかし、すべての線が二等分されるわけではなく、偶数個からなる線だけが二等分され、その二等分されるものについても可能な限り分割していくとすれば、偶数個からなる線が不等な部分に分割されるとき、このようにして不可分な線もまた分割されることになるだろう。
§30Πάλιν εἰ τὸ κεκινημένον ἐν ᾦ χρόνῳ κινεῖται τὴν ὅλην ἐν τῷ ἡμίσει τὴν ἡμίσειαν κινηθήσεται, καὶ ἐν τῷ ἐλάττονι ἔλαττον ἢ τὴν ἡμίσειαν, ὥστ’ εἰ μὲν περιττῶν σύγκειται τῶν ἀτόμων τὸ μῆκος, ἀναιρεθήσεται ἡ μέση τομὴ τῶν ἀτόμων, εἴπερ ἐν τῷ ἡμίσει χρόνῳ τὸ ἥμισυ δίεισιν·
さらに、もし運動するものが、ある時間において全体の距離を動くなら、半分の時間においては半分の距離を動くであろう。 そして、それより短い時間においては、半分より短い距離を動くであろう。 したがって、もしその長さが奇数個の不可分なものから構成されているなら、不可分なものの中間での切断が否定されることになる。 もし本当に半分の時間において半分の距離を通過するならば。
ὁμοίως γὰρ ὅ τε χρόνος καὶ ἡ γραμμὴ τμηθήσεται.
なぜなら、時間も線も同様に分割されるからである。
§31Ὤστε οὐδεμία τῶν συγκειμένων τμηθήσεται εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, οὐδ’ ὁμοίως τοῖς χρόνοις τμηθήσονται.
したがって、構成された線のいずれも、等しい部分や不等な部分に分割されることはなく、また時間の分割と同様に分割されることもない。
Οὐκ ἔσονται ἄτομοι γραμμαί.
（それゆえ）不可分な線は存在しないだろう。
Τὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ λόγου ἐστί, καθάπερ ἐλέχθη, τὸ πάντα ταῦτα ποιεῖν ἐξ ἀμερῶν.
そして、言われたように、これらすべてのものを不可分なものから構成することは、同じ議論に帰着する。
Ἔτι ἄπασα ἡ μὴ ἄπειρος δύο ἔχει πέρατα·
さらに、無限でないすべての線は二つの端点を持つ。
γραμμὴ γὰρ ὥρισται τούτοις.
なぜなら、線はこれらによって定義されているからである。