幾何学と運動の諸原理による不可分な線の論駁｜『不可分の線について』§22-31（アリストテレス）ギリシア語原文・日本語訳

§22

Ὄτι μὲν οὖν ἔκ γε τῶν εἰρημένων λόγων οὔτ’ ἀναγκαῖον ἀτόμους εἶναι γραμμὰς οὔτε πιθανόν, φανερόν. Ἔτι δὲ καὶ ἐκ τῶνδε γένοιτ’ ἂν φανερώτερον. Πρῶτον μὲν ἐκ τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι δεικνυμένων καὶ τιθεμένων, ἃ οὐ δίκαιον ἢ πιστοτέροις λόγοις κινεῖν.¹

したがって、上述の議論から、不可分な線が存在することは必然でもなければ説得力のあることでもないことは明らかである。さらに、以下のことからもそれはよりいっそう明らかになるだろう。第一に、数学において証明され、前提とされている事柄からである。それらを、より信頼できる議論によるのでなければ、覆すことは正しくない。

§23

Οὔτε γὰρ ὁ τῆς γραμμῆς οὔτε ὁ τῆς εὐθείας ὅρος ἐφαρμόσει τῇ ἀτόμῳ διὰ τὸ μήτε μεταξὺ τινῶν εἶναι μήτ’ ἔχειν μέσον. Ἔπειτα πᾶσαι αἱ γραμμαὶ σύμμετροι ἔσονται. Πᾶσαι γὰρ ὑπὸ τῶν ἀτόμων μετρηθήσονται, αἵ τε μήκει σύμμετροι καὶ αἱ δυνάμει.

なぜなら、線の定義も直線の定義も、不可分なものには適合しないからである。それらが何らかのものの間に存在することもなく、中間を持つこともないためである。次に、すべての線は通約可能になる。なぜなら、長さにおいて通約可能なものも、平方において通約可能なものも、すべて不可分なものによって計測されるからである。

§24

Αἱ δὲ ἄτομοι σύμμετροι πᾶσαι μήκει· ἴσαι γάρ· ὥστε καὶ δυνάμει. Εἰ δὲ τοῦτο, διαιρετὸν ἔσται τὸ τετράγωνον. Ἔτι εἰ ἡ περὶ τὴν μείζω τὸ πλάτος ποιεῖ παραβαλλομένη, τὸ ἴσον τῶν ἀπὸ τῆς ἀτόμου καὶ τῆς ποδιαίας παραβαλλομένων περὶ τὴν δίπουν² ἔλαττον ποιήσει τὸ πλάτος τῆς ἀμεροῦς· ἔσται ἔλαττον τὸ περὶ τῆς ἀτόμου.

そして、不可分な線はすべて長さにおいて通約可能である。等しいからである。したがって、平方においても通約可能である。もしそうなら、平方（正方形）は分割可能となる。さらに、より大きな線に適用された正方形がその幅を決定するとすれば、不可分な線と1フィートの線から作られる正方形に等しい領域を2フィートの線に適用したとき、それは不可分なものの幅よりも小さい幅を作るだろう。すなわち、不可分な線に関する幅のほうが小さくなるだろう。

§25

Ἔτι εἰ ἐκ τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν συνίσταται τρίγωνον, καὶ ἐκ τῶν ἀτόμων συσταθήσεται. Ἐν ἅπαντι δὲ ἰσοπλεύρῳ ἡ κάθετος ἐπὶ μέσην πίπτει, ὥστε καὶ ἐπὶ τὴν ἄτομον. Ἔτι εἰ τὸ τετράγωνον τῶν ἁμερῶν διὰ μέσου ἐμπεσούσης καὶ καθέτου ἀχθείσης, ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τὴν κάθετον δύναται καὶ τὴν ἡμίσειαν τῆς διαμέτρου,³ ὥστε οὐκ ἐλαχίστη.

さらに、もし与えられた3つの直線から三角形が構成されるなら、不可分な線からも構成されるだろう。そして、すべての正三角形において、垂線は底辺の中点に落ちる。したがって、不可分な線の上にも中点に落ちる。さらに、もし不可分なものからなる正方形において、中点を通って垂線が引かれるならば、正方形の辺（の平方）は、垂線（の平方）と、底辺の半分の（平方）とに等しくなり、したがって（その辺は）最小の線ではないことになる。

§26

Οὐδὲ διπλάσιον τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου χωρίον ἔσται τοῦ ἀπὸ τῆς ἀτόμου. Ἀφαιρεθέντος γὰρ τοῦ ἴσον ἡ λοιπὴ ἔσται ἐλάσσων τῆς ἀμεροῦς. Εἰ γὰρ ἴσως τετραπλάσιον ἂν ἔγραψεν ἡ διάμετρος, ἄλλα δ’ ἄν τις καὶ ἕτερα τοιαῦτα συνάγοι· πᾶσι γὰρ ὡς εἰπεῖν ἐναντιοῦται τοῖς ἐν τοῖς μαθήμασιν.

また、対角線上の正方形（の面積）は、不可分な線上の正方形の2倍にはならないだろう。なぜなら、等しい部分が引かれたとき、残りの部分は不可分なものよりも小さくなるからである。もし、対角線が4倍の面積を作るとするなら、人は他にもこのような多くの結論を導き出すことができるだろう。なぜなら、それは言うなれば数学におけるすべての事柄に反するからである。

§27

Πάλιν τοῦ μὲν ἀμεροῦς μία ἡ σύναψις, γραμμῆς δὲ δύο· καὶ γὰρ ὅλη ὅλης ἅπτεται, καὶ κατὰ τὸ πέρας ἐξ ἐναντίας. Ἔτι γραμμὴ προστεθεῖσα οὐ ποιεῖ μείζω τὴν ὅλην· τὰ γὰρ ἀμερῆ συντιθέμενα οὐ ποιήσει μεῖζον.

さらに、不可分なものの接合の仕方は一つであるのに対し、線のそれは二つである。なぜなら、全体が全体に接するか、あるいは端点において反対方向から接するからである。さらに、付け加えられた線は全体をより大きくしない。なぜなら、不可分なものが合成されても、より大きなものは作られないからである。

§28

Ἔτι ἐκ δυοῖν ἀμεροῖν μηδὲν γίνεσθαι συνεχὲς διὰ τὸ πλείους διαιρέσεις ἔχειν ἅπαν τὸ συνεχές· ἅπασα δὲ γραμμὴ παρὰ τὴν ἄτομον συνεχὴς οὐκ ἄν εἴη γραμμὴ ἄτομος. Ἔτι εἰ ἅπασα γραμμὴ παρὰ τῆς ἀτόμου καὶ ἴσα καὶ ἄνισα διαιρεῖται, καὶ μὴ ἐκ τριῶν ἀτόμων καὶ ὅλως περιττῶν, ὥστ’ ἀδιαίρετος ἡ ἄτομος.

さらに、すべての連続的なものは複数の分割を持つため、二つの不可分なものからは何ら連続的なものは生じない。そして、不可分な線以外のすべての線は連続的であるから、不可分な線というものは存在しないだろう。さらに、もし不可分な線を除くすべての線が、等しい部分にも不等な部分にも分割され、また3つの不可分なもの（あるいは一般に奇数個）から構成されていないとすれば、不可分な線は分割不可能でなければならない。

§29

Ὁμοίως δὲ κἄν εἰ δίχα τέμνεται· πᾶσα γὰρ ἡ ἐκ τῶν περιττῶν. Εἰ δὲ δίχα μὲν μὴ πᾶσα τέμνεται ἀλλ’ ἡ ἐκ τῶν ἀρτίων, τὴν δὲ δίχα διαιρουμένην καὶ ὅσα δυνατὸν τέμνειν, διαιρεθήσεται καὶ οὕτως ἄτομος, ὅταν ἡ ἐκ τῶν ἀρτίων εἰς ἄνισα διαιρῆται.

同様に、たとえそれが二等分されるとしても不都合が生じる。なぜなら、奇数個からなるすべての線がそうだからである。しかし、すべての線が二等分されるわけではなく、偶数個からなる線だけが二等分され、その二等分されるものについても可能な限り分割していくとすれば、偶数個からなる線が不等な部分に分割されるとき、このようにして不可分な線もまた分割されることになるだろう。

§30

Πάλιν εἰ τὸ κεκινημένον ἐν ᾦ χρόνῳ κινεῖται τὴν ὅλην ἐν τῷ ἡμίσει τὴν ἡμίσειαν κινηθήσεται, καὶ ἐν τῷ ἐλάττονι ἔλαττον ἢ τὴν ἡμίσειαν, ὥστ’ εἰ μὲν περιττῶν σύγκειται τῶν ἀτόμων τὸ μῆκος, ἀναιρεθήσεται ἡ μέση τομὴ τῶν ἀτόμων, εἴπερ ἐν τῷ ἡμίσει χρόνῳ τὸ ἥμισυ δίεισιν· ὁμοίως γὰρ ὅ τε χρόνος καὶ ἡ γραμμὴ τμηθήσεται.

さらに、もし運動するものが、ある時間において全体の距離を動くなら、半分の時間においては半分の距離を動くであろう。そして、それより短い時間においては、半分より短い距離を動くであろう。したがって、もしその長さが奇数個の不可分なものから構成されているなら、不可分なものの中間での切断が否定されることになる。もし本当に半分の時間において半分の距離を通過するならば。なぜなら、時間も線も同様に分割されるからである。

§31

Ὤστε οὐδεμία τῶν συγκειμένων τμηθήσεται εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, οὐδ’ ὁμοίως τοῖς χρόνοις τμηθήσονται. Οὐκ ἔσονται ἄτομοι γραμμαί. Τὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ λόγου ἐστί, καθάπερ ἐλέχθη, τὸ πάντα ταῦτα ποιεῖν ἐξ ἀμερῶν. Ἔτι ἄπασα ἡ μὴ ἄπειρος δύο ἔχει πέρατα· γραμμὴ γὰρ ὥρισται τούτοις.

したがって、構成された線のいずれも、等しい部分や不等な部分に分割されることはなく、また時間の分割と同様に分割されることもない。（それゆえ）不可分な線は存在しないだろう。そして、言われたように、これらすべてのものを不可分なものから構成することは、同じ議論に帰着する。さらに、無限でないすべての線は二つの端点を持つ。なぜなら、線はこれらによって定義されているからである。

構文注3 件

969b22ἃ οὐ δίκαιον ἢ πιστοτέροις λόγοις κινεῖν
関係代名詞 ἃ の先行詞は直前の「数学において示され、前提されている事柄」である。ここでの ἢ は比較級的な意味合いを伴う「〜よりほかに」を意味し、全体で「より信頼できる議論によるのでなければ、これらを覆すことは正しくない」という意味になる。一部の校訂者は ἢ を否定辞 μὴ の誤記とみなす。
970a1τὸ ἴσον τῶν ἀπὸ τῆς ἀτόμου καὶ τῆς ποδιαίας παραβαλλομένων περὶ τὴν δίπουν
古代ギリシア幾何学における「面積の適用（パラボレー）」を指す。1フィートの線と不可分な線の上の正方形の和に等しい面積を、2フィートの線に（長方形として）適用させた際、その適用された長方形の「幅（πλάτος）」が不可分な線よりも小さくなるという不合理を指摘している。
970a1ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τὴν κάθετον δύναται καὶ τὴν ἡμίσειαν τῆς διαμέτρου
動詞 δύναμαι は数学的文脈で「平方において等しい（〜を力として持つ）」を意味する。ピタゴラスの定理に基づき、正方形の辺の平方が、垂線の平方と底辺の半分の平方の和に等しい（それらに等しい力を有する）ことを示している。

翻訳：Gemini 3.5 Flash（2026-05-22 公開）・修正履歴（2 件・最終 2026-09-21）

2026-09-21 AI校閲 — 原文 2 件

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